XVIII ZMPB - Zadanie 18

Niech $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ będą takimi liczbami całkowitymi różnymi od zera, że jedyną czwórką liczb całkowitych $ (x,y,z,t) $ spełniającą równanie

\[<br /> ax^2+by^2+cz^2+dt^2=0<br /> \]

jest $ x=y=z=t=0 $. Czy wynika stąd, że liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ mają jednakowy znak?

Rozwiązanie

Odpowiedź: Nie.

Udowodnimy na przykład, że liczby $ (a,b,c,d)=(1,1,-3,-3) $ spełniają założenia zadania. Aby to uczynić, przypuśćmy, że liczby całkowite $ x $, $ y $, $ z $, $ t $ są rozwiązaniem równania

\[<br /> (1) \qquad x^2+y^2-3z^2-3t^2=0.<br /> \]

Liczba $ x^2+y^2=3(z^2+t^2) $ jest wówczas podzielna przez 3. Ponieważ kwadrat liczby całkowitej podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez 3 daje resztę 1 z dzielenia przez 3, więc suma $ x^2+y^2 $ może być podzielna przez 3 jedynie wtedy, gdy liczby $ x $ i $ y $ są podzielne przez 3. W tej sytuacji liczba $ x^2+y^2 $ jest podzielna przez 9, co pociąga podzielność liczby $ z^2+t^2 $ przez 3. W konsekwencji liczby $ z $ i $ t $ są również podzielne przez 3.

Zatem dowolne całkowite rozwiązanie równania (1) składa się z liczb podzielnych przez 3. Jest to równanie jednorodne: jeżeli liczby $ x $, $ y $, $ z $, $ t $ są jego rozwiązaniem, to liczby $ {1\over 3}x $, $ {1\over 3}y $, $ {1\over 3}z $, $ {1\over 3}t $ również. Gdyby więc istniało rozwiązanie, w którym któraś z liczb całkowitych $ x $, $ y $, $ z $, $ t $ byłaby niezerowa, to dzieląc wszystkie te liczby przez odpowiednią potęgę liczby 3 otrzymalibyśmy rozwiązanie w liczbach całkowitych, nie wszystkich podzielnych przez 3, a jak wcześniej udowodniliśmy - takich rozwiązań nie ma. Wobec tego jedynym rozwiązaniem równania (1) w liczbach całkowitych jest $ x=y=z=t=0 $.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź