XIV OM - I - Zadanie 8

Dane są dwa wielokąty podobne, ale nierówne; boki odpowiednie tych wielokątów leżą na prostych równoległych, których odległość jest dla wszystkich par boków ta sama. Czy muszą to być wielokąty foremne o wspólnym środku?

Rozwiązanie

Odpowiedź na postawione pytanie jest przecząca: dwa wielokąty spełniające wymienione warunki mogą nie być foremne. Możemy to stwierdzić w następujący sposób.

Niech $W$ będzie dowolnym wielokątem nieforemnym, którego boki lub przedłużenia boków są styczne do okręgu $C$ o promieniu $r$ i o środku $O$ . Zbudujmy wielokąt $W_1$ jednokładny do $W$ względem $O$ w stosunku $k \ne 1$ . Wielokąty nieforemne $W$ i $W_1$ spełniają zadane warunki, gdyż są podobne w stosunku $k \ne 1$ , odpowiednie ich boki są równoległe, a odległość każdej pary odpowiednich boków wynosi $r | k - 1 |$ . Na rysunku 6 wielokąty $W$ i $W_1$ są wypukłe, a na rys. 7 - niewypukłe. Zbudowane wielokąty mają jedną z własności współśrodkowych wielokątów foremnych, są mianowicie opisane na okręgach współśrodkowych. Nasuwa się pytanie, czy zawsze tak będzie, gdy $W$ i $W_1$ spełniają warunki postawione w zadaniu. I na to pytanie odpowiedź jest przecząca, jak pokazuje przykład 2 prostokątów $ABCD$ i $A_1B_1C_1D_1$ (rys. 8), o wspólnym środku i o bokach równoległych, przy czym $AB = 2A_1B_1 = 3BC= 6B_1C_1$ ; odległość każdej pary odpowiednich boków jest równa $d = 1,5$ . Ogólnie można obrać $AB = k \cdot A_1B_1 = \frac{k+1}{k-1} BC$ ; wówczas $d = \frac{k-1}{2k} \cdot AB$ .

Zachodzi jednak twierdzenie, że jeżeli wielokąty $W$ i $W_1$ o rozważanych własnościach nie są prostokątami, to są wielokątami opisanymi na okręgach współśrodkowych.

Przeprowadzimy dowód tego twierdzenia. Aby ułatwić wysłowienie, przyjmiemy pewną umowę. Mianowicie wielokąt, którego każde dwa kolejne boki są prostopadłe, nazwiemy wielokątem prostokątnym. Wielokąt prostokątny wypukły - to oczywiście prostokąt, lecz są również wielokąty prostokątne niewypukłe o dowolnej większej niż $4$ parzystej liczbie boków. Prócz tego będziemy proste pokrywające się uważali za przypadek szczególny prostych równoległych, a mianowicie za proste równoległe o odległości równej zeru.

Dowód podzielimy na 3 części:

A) Udowodnimy najpierw twierdzenie:

Jeżeli wielokąty $W$ i $W_1$ są podobne w stosunku $k \ne 1$ (przy czym w tym podobieństwie $P$ odpowiednie boki wielokątów są równoległe) i jeżeli $W$ i $W_1$ nie są wielokątami prostokątnymi, to podobieństwo $P$ jest jednokładnością.

Dowód. Wielokąt $W$ ma według założenia parę nieprostopadłych kolejnych boków $AB$ i $BC$ ; niech bokom tym odpowiadają w podobieństwie $P$ między $W$ i $W_1$ boki $A_1B_1$ i $B_1C_1$ wielokąta $W_1$ . Ponieważ $AB \parallel A_1B_1$ i $AB = k \cdot A_1B_1$ ( $k \ne 1$ ), więc istnieje taki punkt $O$ , że jednokładność $H$ o środku $O$ i stosunku $k$ przekształca punkt $A_1$ na punkt $A$ , a punkt $B_1$ na punkt $B$ ; punktem jednokładnym do $C_1$ niech będzie $C_2$ . Trójkąty $ABC$ , i $ABC_2$ są oba podobne do trójkąta $A_1B_1C_1$ w tym samym stosunku $k$ , więc są przystające; wobec tego punkt $C_2$ bądź pokrywa się z punktem $C$ , bądź jest symetryczny do $C$ względem prostej $AB$ . Ten drugi przypadek zachodzić jednak nie może. Istotnie, prosta $BC$ jest według założenia równoległa do prostej $B_1C_1$ , a prosta $B_1C_1$ jest równoległa do prostej jednokładnej $BC_2$ , zatem proste $BC$ i $BC_2$ są równoległe, tj. pokrywają się; tymczasem prosta $BC$ , która jest różna od $AB$ i nie jest prostopadła do $AB$ nie może pokrywać się ze swym obrazem symetrycznym względem osi $AB$ . Zatem punkt $C_2$ pokrywa się z punktem $C$ . Podobieństwo $P$ i jednokładność $H$ (która wszak też jest podobieństwem) przekształcają punkty $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ w te same punkty $A$ , $B$ , $C$ . Ponieważ na płaszczyźnie może istnieć tylko jedno podobieństwo, które $3$ dane punkty niewspółliniowe przekształca w $3$ określone punkty niewspółliniowe, więc podobieństwo $P$ jest identyczne z jednokładnością $H$ , c.n.d.

Bez założenia, że $W$ i $W_1$ nie są wielokątami prostokątnymi, teza nie byłaby słuszna. Na rys. 9 wielokąty $W$ i $W_1$ są podobne w stosunku $2 \colon 1$ i mają boki odpowiednio równoległe, lecz nie są jedndkładne.

Na rys. 10 pomiędzy prostokątami $W$ i $W_1$ zachodzi podobieństwo $P$ , w którym punktom $A$ , $B$ , $C$ , $D$ odpowiadają punkty $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $D_1$ . Podobieństwo to nie jest jednokładnością, gdyż proste $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ i $DD_1$ nie przechodzą przez jeden punkt. Dla tych prostokątów istnieją dwa środki jednokładności: punkt przecięcia $O$ prostych $AB_1$ i $A_1B$ , oraz punkt przecięcia $S$ prostych $CB_1$ i $DA_1$ . Jednokładność $H_O$ przekształca punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ odpowiednio na punkty $B_1$ , $A_1$ , $D_1$ , $C_1$ a jednokładność $H_S$ przekształca je na $D_1$ , $C_1$ , $B_1$ , $A_1$ .

B) Udowodnimy teraz twierdzenie:

Jeżeli wielokąty $W$ i $W_1$ są jedndkładne w stosunku $k \ne 1$ ,a przy tym każde dwie proste zawierające dwa boki odpowiednie tych wielokątów mają tę samą odległość $d$ , to środek jednokładności $O$ jest dla każdego z tych wielokątów środkiem koła wpisanego, tj. koła stycznego do wszystkich prostych zawierających boki wielokąta.

Zauważmy najpierw, że $d$ nie może być równe zeru, gdyż w przeciwnym razie każde dwa odpowiednie boki danych wielokątów leżałyby na tej samej prostej i wielokąty pokrywałyby się wbrew założeniu. Wobec tego środek jednokładności $O$ nie może leżeć na jednej prostej z żadnym bokiem wielokąta $W$ bądź $W_1$ , gdyż wówczas $2$ odpowiednie boki $W$ i $W_1$ leżałyby na jednej prostej i byłoby $d = 0$ . Weźmy pod uwagę trzy kolejne wierzchołki $A$ , $B$ , $C$ wielokąta $W$ i odpowiadające im wierzchołki $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ wielokąta $W_1$ . Niech $m$ i $n$ oznaczają wysokości trójkątów $AOB$ i $BOC$ , a $m_1$ i $n_1$ - wysokości trójkątów $A_1OB_1$ i $B_1OC_1$ . Ponieważ $O$ jest środkiem jednokładności wielokątów $W$ i $W_1$ , więc punkty $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ leżą odpowiednio na prostych $OA$ , $OB$ , $OC$ , przy czym zachodzi jeden z przypadków:

a) $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ leżą odpowiednio wewnątrz odcinków $OA$ , $OB$ , $OC$ ,

b) $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ leżą na przedłużeniach odcinków $OA$ , $OB$ , $OC$ poza punkty $A$ , $B$ , $C$ ,

c) $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ leżą na przedłużeniach odcinków $OA$ , $OB$ , $OC$ poza punkt $O$ (rys. 11).

Przypuśćmy, że zachodzi przypadek a). Wówczas $m - m_1 = d$ , $n - n_1 = d$ , zatem

$ (1) \qquad m - m_1 = n - n_1, $

a wobec jednokładności $W$ i $W_1$

$ (2) \qquad \frac{m}{m_1} = \frac{n}{n_1} = k. $

Według (2) $m = km_1$ , $n = kn_1$ ; podstawiając do (1) otrzymujemy $m_1(1 - k) = k_1(1 - k)$ , a że $k \ne 1$ , więc

$ m_1 = n_1 \textrm{ i } m = n. $

Punkt $O$ jest zatem równoodległy od $2$ prostych zawierających $2$ dowolnie obrane kolejne boki wielokąta $W$ bądź $W_1$ ; jest on zatem środkiem okręgów wpisanych w $W$ i w $W_1$ .

W pozostałych przypadkach dowód jest analogiczny; w przypadku b) $m_1 - m = n_1 - n = d$ , a w przypadku c) $m + m_1 = n + n_1 = d$ .

Na pozór mogłoby się wydawać, że poprzedni przykład prostokątów $ABCD$ i $A_1B_1C_1D_1$ (rys. 8) przeczy powyższemu twierdzeniu, gdyż w prostokąty te nie można wpisać okręgów, pomimo że odległości prostych $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ odpowiednio od prostych $A_1B_1$ , $B_1C_1$ , $C_1D_1$ , $D_1A_1$ są równe, a prócz tego prostokąty te są jednokładne. Nie ma tu jednak żadnej sprzeczności. Dlaczego?

C) Zauważmy, że dwa wielokąty prostokątne niewypukłe $W$ i $W_1$ , które są podobne w stosunku $k \ne 1$ i których boki odpowiednie są równoległe, nie mogą być tak położone, żeby każde dwie proste zawierające dwa boki odpowiednie miały tę samą odległość $d$ . Wielokąt prostokątny niewypukły posiada bowiem trzy takie boki, które leżą na trzech różnych prostych równoległych; niech $AB$ , $KL$ , $PQ$ będą takimi bokami wielokąta $W$ (rys. 12) a $A_1B_1$ , $K_1L_1$ , $P_1Q_1$ odpowiednimi bokami wielokąta $W_1$ . Przypuśćmy, że proste $AB$ i $A_1B_1$ mają tę samą odległość $d$ , co proste $KL$ i $K_1L_1$ i co proste $PQ$ i $P_1Q_1$ . W takim razie proste $A_1B_1$ i $K_1L_1$ otrzymuje się przez przesunięcie równoległe prostych $AB$ i $KL$ o ten sam odcinek $d$ ale w kierunkach przeciwnych, gdyż odległość prostych $A_1B_1$ i $K_1L_1$ nie równa się odległości $AB$ i $KL$ , lecz jest zmieniona w stosunku $k \ne 1$ . To samo dotyczy prostych $K_1L_1$ i $P_1Q_1$ oraz prostych $A_1B_1$ i $P_1Q_1$ . Jest to niemożliwe, gdyż nie ma trzech kierunków parami przeciwnych.

Z A), B), C) wynika twierdzenie:

Jeżeli dwa wielokąty podobne $W$ stosunku $k \ne 1$ są tak położone, że każde dwa odpowiadające sobie boki tych wielokątów leżą na prostych równoległych o tym samym odstępie i jeżeli wielokąty te nie są prostokątami, to są one wielokątami opisanymi na dwóch okręgach współśrodkowych.

Powyższe rozważania dotyczyły tylko takich wielokątów podobnych, które nie są przystające. Dla wielokątów przystających $W$ i $W_1$ zachodzą twierdzenia następujące:

1. Jeżeli boki odpowiednie wielokątów $W$ i $W_1$ są równoległe, a wielokąty te nie są wielokątami prostokątnymi, to $W_1$ otrzymuje się z $W$ bądź przez symetrię środkową, bądź przez przesunięcie równoległe.

2. Jeżeli boki odpowiednie wielokątów $W$ i $W_1$ leżą na prostych równoległych, których odległość jest dla każdej pary boków ta sama, to możliwe są tylko dwa przypadki:

a) Wielokąty $W$ i $W_1$ są środkowo-symetryczne, przy czym wszystkie proste zawierające ich boki są styczne do tego samego okręgu (rys. 13);

b) $W_1$ jest takim wielokątem o parzystej liczbie boków, w którym każde dwa boki przedzielone jednym bokiem są równoległe. Wielokąt $W_2$ otrzymuje się z $W_1$ przez przesunięcie rówiioległe w kierunku. dwusiecznej kąta między przyległymi bokami wielokąta $W$ (rys. 14).

Dowody tych twierdzeń pozostawiamy jako ćwiczenie.

Wersja do wydruku

Olimpiady Matematyczne

XIV OM - I - Zadanie 8

Rozwiązanie

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź

Klasyfikacja tematyczna

Zawody

Rok

Klasyfikacja tematyczna

Rok

Zawody