XIV OM - II - Zadanie 3

Rozwiązać w liczbach całkowitych układ równań

\[<br /> (1) \qquad<br /> \begin{array}{c}<br /> x + y + z = 3\\<br /> x^3 + y^3 + z^3 = 3.<br /> \end{array}<br /> \]

Rozwiązanie

Układ równań (1) jest równoważny układowi

\[<br /> (2) \qquad<br /> \begin{array}{c}<br /> x+y+z=3\\<br /> (x + y + z)^3 - (x^3 + y^3 + z^3) = 24.<br /> \end{array}<br /> \]

W drugim z powyższych równań lewa strona jest wielomianem $ 3 $ stopnia zmiennych $ x $, $ y $, $ z $, który jest tożsamościowo równy zeru, gdy $ x = - y $; wielomian ten jest więc podzielny przez $ x + y $. Tak samo stwierdzamy, że jest on podzielny przez $ y + z $ i przez $ z + x $. Zatem dla wszelkich $ x $, $ y $, $ z $

\[<br /> (x, + y + z)^3 - (x^3 +y^3 + z^3) = k(x + y) (y + z) (z + y)<br /> \]

gdzie $ k $ jest współczynnikiem liczbowym. Wartość $ k $ znajdziemy, podstawiając do obu stron powyższej tożsamości wartości liczbowe za $ x $, $ y $, $ z $, np. $ x = 0 $, $ y = z = 1 $. Otrzymujemy $ k = 3 $, wobec czego układ (2) przybiera postać

\[<br /> (3) \qquad<br /> \begin{array}{c}<br /> x + y + z = 3\\<br /> (x + y) (y + z) (z + x) = 8.<br /> \end{array}<br /> \]

Zadanie sprowadza się więc do tego, aby liczbę $ 8 $ przedstawić w postaci iloczynu trzech czynników całkowitych, których suma $ x + y + y + z + z+ x = 6 $.

Ponieważ dzielnikami liczby $ 8 $ są liczby $ \pm 1 $, $ \pm 2 $, $ \pm 4 $, $ \pm 8 $, więc łatwo stwierdzić, że istnieją dwa rozkłady o żądanej własności:

\[<br /> 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = (- 1) \cdot (- 1) \cdot 8.<br /> \]

Stąd prosty rachunek prowadzi do wyniku, że układ (3), zatem również układ (1), ma $ 4 $ rozwiązania w liczbach całkowitych: $ (1, 1, 1) $, $ (-5, 4, 4) $, $ (4, -5, 4) $, $ (4, 4, -5) $.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź