I MEMO - Zadanie 1

Dodatnie liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniają warunek

\[<br /> a+b+c+d=4.<br /> \]

Wykazać, że

\[<br /> a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\le 4.<br /> \]

Rozwiązanie

Obie strony nierówności nie zmienią się, jeżeli dokonamy cyklicznej permutacji zmiennych $ a $, $ b $, $ c $, $ d $. Możemy zatem przyjąć, że $ a\ge c $, gdyż w przeciwnym razie dokonamy cyklicznej permutacji $ (a,b,c,d)\to(c,d,a,b) $. Dalej, jeżeli $ a\ge c $ oraz $ b<d $, to przeprowadzamy permutację $ (a,b,c,d)\to(b,c,d,a) $ i otrzymujemy układ, w którym $ a\ge c $ i $ b\ge d $.

Będziemy więc dalej zakładać, że $ a\ge c $ oraz $ b\ge d $. Wynika stąd w szczególności nierówność

\[<br /> (a-c)(b-d)\ge 0, \quad\hbox{czyli równoważnie}\quad ab+cd\ge bc+ad.<br /> \]

Wobec tego korzystając dwukrotnie z nierówności $ xy\le({x+y\over 2})^2 $ uzyskujemy

\[<br /> \begin{split}a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab&<br /> =ac(ab+cd)+bd(bc+ad)\le \cr<br /> &\le ac(ab+cd)+bd(ab+cd)= \cr<br /> &=(ac+bd)(ab+cd)\le\Bigl({ac+bd+ab+cd\over 2}\Bigr)^2= \cr<br /> &=\Bigl({(a+d)(b+c)\over 2}\Bigl)^2\le<br /> \Bigl({({a+d+b+c\over 2})^2\over 2}\Bigr)^2=4,<br /> \end{split}<br /> \]

co kończy rozwiązanie zadania.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź