I MEMO - Zadanie 3

Dany jest okrąg $ k $ oraz okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $, $ k_4 $ o środkach odpowiednio $ O_1 $, $ O_2 $, $ O_3 $, $ O_4 $ leżących na okręgu $ k $. Dla $ i=1,2,3,4 $ okręgi $ k_i $ oraz $ k_{i+1} $ (gdzie $ k_5=k_1 $) przecinają się w punktach $ A_i $ i $ B_i $ w taki sposób, że $ A_i $ leży na okręgu $ k $. Zakładamy, że punkty $ O_1 $, $ A_1 $, $ O_2 $, $ A_2 $, $ O_3 $, $ A_3 $, $ O_4 $, $ A_4 $ leżą w takiej kolejności na okręgu $ k $ i są parami różne. Wykazać, że czworokąt $ B_1B_2B_3B_4 $ jest prostokątem.

Rozwiązanie

memo1_r_img_1.jpg

Punkty $ A_2 $ i $ B_2 $, jako punkty przecięcia okręgów $ k_2 $ i $ k_3 $, są symet\-ryczne względem prostej $ O_2O_3 $ łączącej środki tych okręgów (rys. 1). Uzyskujemy stąd równość

\[<br /> \measuredangle A_2O_2O_3=\measuredangle B_2O_2O_3. (1) \qquad<br /> \]

Ponadto łuki $ A_2O_3 $ i $ O_3A_3 $ okręgu $ k $ mają jednakowe długości, więc oparte na nich kąty mają równe miary. Innymi słowy,

\[<br /> \measuredangle A_2O_2O_3=\measuredangle A_3O_2O_3. (2) \qquad<br /> \]

Z równości (1) i (2) wnioskujemy, że punkty $ O_2 $, $ B_2 $, $ A_3 $ leżą na jednej prostej. Podobnie dowodzimy, że punkty $ O_1 $, $ B_4 $, $ A_3 $ leżą na jednej prostej. Rozpatrując teraz czworokąt $ A_1O_2A_3O_1 $ wpisany w okrąg $ k $ stwierdzamy, że

\[<br /> (3) \qquad \measuredangle B_2O_2A_1+\measuredangle B_4O_1A_1=<br /> \measuredangle A_3O_2A_1+\measuredangle A_3O_1A_1=180^\circ.<br /> \]

Na mocy zależności pomiędzy kątami środkowymi i wpisanymi otrzymujemy

\[<br /> \begin{split}<br /> \measuredangle B_2B_1A_1+\measuredangle B_4B_1A_1<br /> &=(180^\circ-\measuredangle B_2A_2A_1)+(180^\circ-\measuredangle B_4A_4A_1)= \\<br /> &=(180^\circ-\xfrac{1}{2}\measuredangle B_2O_2A_1)+<br /> (180^\circ-\xfrac{1}{2}\measuredangle B_4O_1A_1)= \\<br /> &=360^\circ-\xfrac{1}{2}<br /> (\measuredangle B_2O_2A_1+\measuredangle B_4O_1A_1).<br /> \end{split}<br /> \]

W połączeniu z równością (3) prowadzi to do wniosku, że

\[<br /> \measuredangle B_2B_1A_1+\measuredangle B_4B_1A_1=270^\circ,<br /> \]

a to oznacza, że $ \measuredangle B_4B_1B_2=90^\circ $. Rozumując analogicznie wykazujemy, że kąty $ \measuredangle B_1B_2B_3 $, $ \measuredangle B_2B_3B_4 $ i $ \measuredangle B_3B_4B_1 $ są proste. Wynika stąd teza zadania.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź