XI OM - III - Zadanie 6

Na obwodzie prostokąta obrano punkt . Znaleźć najkrótszą drogę, której początkiem i końcem jest punkt i która ma z każdym bokiem prostokąta jakiś punkt wspólny.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że punkt znajduje się na boku prostokąta (rys. 31).

Na bokach , i obieramy odpowiednio punkty , , w sposób następujący. Jeżeli punkt nie pokrywa się z żadnym z punktów i , to prowadzimy , , ; wówczas i otrzymujemy drogę stanowiącą obwód równoległoboku. Jeżeli punkt pokrywa się z punktem , to punkt również pokrywa się z punktem , a punkty i pokrywają się z punktem ; droga jest wówczas podwójnie przebieganą przekątną . Podobnie, gdy punkt leży w punkcie , droga daje podwójną przekątną .

Udowodnimy, że określona w powyższy sposób droga jest żądaną drogą najkrótszą.

Dowiedziemy najpierw, że droga , której długość oznaczymy króko literą , jest krótsza od długości każdej innej łamanej , w której punkty , , leżą odpowiednio na bokach , i .

Założymy przy tym, że punkt jest różny od i od . W przypadku, gdy pokrywa się z lub , dowód wymaga drobnej jedynie modyfikacji, czego sprawdzenie pozostawiamy czytelnikowi.

Niech będzie punktem symetrycznym do punktu względem prostej , a - punktem symetrycznym do punktu względem prostej . Punkty , i leżą na jednej prostej, gdyż jako kąty równe kątom utworzonym przez przekątne i z bokiem , a jako kąty symetryczne, więc i odcinek jest przedłużeniem odcinka . Podobnie leżą na jednej prostej punkty , i . Ponieważ i , więc trójkąt jest równoramienny () i długość drogi równa się sumie długości odcinków i .

Długość drogi równa długości drogi jest co najmniej równa sumie długości odcinków i , gdyż a . Wreszcie ; jeżeli bowiem jest punktem symetrycznym do punktu względem prostej , to punkty , , leżą na jednej prostej i . Z powyższych przesłanek wynika, że , przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkty , , pokrywają się z punktami , , .

Dowiedziemy następnie, że każda łamana (rys. 32), w której punkty , , leżą na bokach , i prostokąta, jest dłuższa od .

Istotnie, oznaczając literą punkt przecięcia odcinków i mamy

zatem

skąd

tzn. łamana jest dłuższa od łamanej , a tym samym dłuższa od .

Teraz już łatwo wykazać, że długość drogi jest mniejsza od długości każdej innej drogi o początku i końcu w , która ma punkty wspólne ze wszystkimi bokami prostokąta. Drogę taką możemy bowiem oznaczyć

gdzie , , oznaczają punkty leżące na różnych bokach prostokąta (bez boku ). Długość tej drogi jest co najmniej równa długości łamanej , ta zaś z kolei - jak wykazaliśmy poprzednio - jest co najmniej równa długości łamanej , przy czym równość zachodzi wtedy, gdy punkty , , pokrywają się odpowiednio bądź z punktami , , , bądź z punktami , , .