X OM - II - Zadanie 1

Jaki warunek konieczny i dostateczny powinny spełniać współczynniki $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , aby równanie

$ (1) \qquad ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $

miało dwa pierwiastki przeciwne ?

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że równanie (1) ma dwa pierwiastki przeciwne $x_1$ i $x_2 = - x_1$ . W takim razie

$ (2) \qquad ax^3_1 + bx^2_1 + cx_1 + d = 0, $

$ (3) \qquad - ax^3_1 + bx^2_1 - cx_1 + d = 0. $

Dodając i odejmując równości (2) i (3), otrzymujemy

$ (4) \qquad bx^2_1 + d =0, $

$ (5) \qquad ax^3_1 + cx_1 = 0. $

Mnożymy równości (4) i (5) odpowiednio przez $ax_1$ i $b_1$ , po czym je odejmujemy, co daje równość

$ (ad - bc) x_1 = 0. $

Jeżeli $x_1 \ne 0$ , to z powyższej równości wynika, że

$ (6) \qquad ad - bc = 0. $

Jeśli $x_1 = 0$ , to pierwiastkami przeciwnymi równania (1) są liczby $0$ i $- 0$ , które są równe, co oznacza, że $0$ jest pierwiastkiem podwójnym równania (1). Wobec tego lewa strona równania (1) jest podzielna przez $x^2$ , zatem $c = d = 0$ , skąd wynika, że i w tym przypadku zachodzi równość (6).

Równość (6) jest więc warunkiem koniecznym do tego, aby równanie (1) miało dwa pierwiastki przeciwne.

Żeby zbadać, czy warunek (6) jest dostateczny, lub ewentualnie wykryć dalsze warunki, przypuśćmy, że ten warunek jest spełniony. Rozważymy dwie możliwości:

a) $a \ne 0$ ; wówczas na mocy (6) $d = \frac{bc}{a}$ , zatem

$ ax^3 + bx^2 + cx + d = ax^3 + bx^2 + cx + \frac{bc}{a} = x (ax^2 + c) + \frac{b}{a} + (ax^2 + c) $

i równanie (1) przybiera postać

$ \left( x + \frac{b}{a} \right) (ax^2 + c) =0. $

Widzimy stąd, że równanie (1) ma wtedy i tylko wtedy dwa pierwiastki przeciwne, gdy równanie $ax^2 + c = 0$ ma pierwiastki (rzeczywiste), tzn., gdy

$ ac \leq 0. $

b) $a = 0$ ; należy wtedy rozróżnić dwa przypadki:

Jeśli $b \ne 0$ , to z warunku (6) wynika, że $c = 0$ ; równanie ma postać

$ bx^2 + d = 0 $

i posiada wtedy i tylko wtedy pierwiastki przeciwne, gdy

$ bd \leq 0. $

Jeśli zaś $b = 0$ , równanie przybiera postać

$ cx + d = 0 $

i posiada dwa pierwiastki przeciwne wtedy i tylko wtedy, gdy jest tożsamością, tj. gdy

$ c = d = 0. $

Zauważmy, że gdy $a = 0$ , to spełnienie warunku (6) jest konsekwencją równości $c = 0$ .

Otrzymujemy zatem następującą odpowiedź na pytanie postawione w zadaniu.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym do tego, aby równanie

$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $

miało dwa pierwiastki przeciwne, jest warunek, żeby zachodził jeden z przypadków

$ \alpha)\ a \ne 0, \quad ad - bc=0,\quad ac \leq 0, $

$ \beta)\ a = 0,\quad b \ne 0,\ c = 0,\quad bd < 0, $

$ \gamma)\ a=b = c = d = 0. $

Uwaga 1. Pierwszą część powyższego rozwiązania można skrócić, stosując rozumowanie następujące. Rozważymy najpierw przypadek, gdy w równaniu (1) $a \ne 0$ . Przypuśćmy, że równanie (1) ma dwa pierwiastki przeciwne $x_1$ i $x_2 = - x_1$ ; wówczas ma ono jeszcze pierwiastek $x_3$ , przy czym według znanego wzoru $x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}$ , wobec czego $x_3 = - \frac{b}{a}$ . Równanie (1) może mieć zatem tylko wtedy dwa pierwiastki przeciwne, gdy liczba $-\frac{b}{a}$ spełnia to równanie, tj. gdy

$ a \left( -\frac{b^3}{a^3} \right) + b \cdot \frac{b^2}{a^2} - c \cdot \frac{b}{a} + d = 0, $

co po uproszczeniu daje warunek

$ (6) \qquad ad - bc = 0. $

Jeżeli ten warunek jest spełniony, lewa strona równania (1) jest podzielna przez $x + \frac{b}{a}$ i łatwo sprawdzić, że

$ ax^3 + bx^2 + cx + d = \left( x + \frac{b}{a} \right) (ax^2 + c). $

Dalszy ciąg rozumowania pozostaje bez istotnych zmian.

Uwaga 2. Uzyskany wyżej wynik można przedstawić w innej postaci. Mianowicie alternatywę ,, $\alpha)$ lub $\beta$ )'' można zastąpić przypadkiem

$ \delta)\ a^2 + b^2 \ne 0,\ ad - bc = 0,\ ac \leq 0, bd \leq 0. $

Przypuśćmy bowiem, że zachodzi $\alpha$ ). Wówczas $a^2 + b^2 \ne 0$ , gdyż $a \ne 0$ ; ponieważ zaś $ad = bc$ i $a \ne 0$ , więc $bd = \frac{b^2}{a^2} \cdot ac \leq 0$ , gdyż $ac \leq 0$ ; zatem zachodzi $\delta$ ). Podobnie, jeśli zachodzi $\beta$ ), to $a^2 + b^2 \ne 0$ , gdyż $b \ne 0$ , a z równości $a = 0$ , $c = 0$ wynika, że $ad - bc = 0$ i $ac = 0$ , więc też $ac \leq 0$ , wobec czego zachodzi równość 6).

Odwrotnie, jeśli zachodzi $\delta$ ), to albo $a \ne 0$ , wówczas zachodni $\alpha$ ), albo też $a = 0$ i $b \ne 0$ , wobec czego z równości $ad - bc = 0$ wynika, że $c = 0$ , zatem zachodzi $\beta$ ).

Uwaga 3. Powyższe rozwiązanie dotyczyło pierwiastków rzeczywistych równania o współczynnikach rzeczywistych. W zakresie liczb zespolonych możemy zastosować rozumowanie analogiczne, przy czym uzyskamy wynik prostszy, gdyż nie będą w nim występowały warunki $ac \leq 0$ i $bd \leq 0$ , które były potrzebne do zapewnienia rzeczywistości pierwiastków równań $ax^2 + c = 0$ i $bx^2 + d = 0$ . W zakresie liczb zespolonych uzyskujemy zatem twierdzenie: