Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

VIII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że, jeżeli $x$ , $y$ , $z$ oraz $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}$ są liczbami wymiernymi, to również $\sqrt{x}$ , $\sqrt{y}$ , $\sqrt{z}$ są liczbami wymiernymi.

Rozwiązanie

Niech

$ \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = w; $

według założenia $w$ jest liczbą wymierną. Wówczas

$ \sqrt{x} + \sqrt{y} = w - \sqrt{z}. $

Podnosząc obie strony tej równości do kwadratu otrzymujemy

$ x + y + 2\sqrt{xy} = w^2 - 2w \sqrt{z} + z, $

stąd

$ (1) \qquad 2 \sqrt{xy} = w^2 + z - x - y - 2w \sqrt{z}. $

Podnosząc powtórnie obie strony do kwadratu otrzymujemy

$ 4xy = (w^2 + z - x - y)^2 + 4w^2z - 4w (w^2 + z - x - y) \sqrt{z}, $

a stąd

$ (2) \qquad 4w (w^2 + z - x - y) \sqrt{z} = (w^2 + z - x - y)^2 + 4w^2z-4xy. $

Jeżeli $w(w^2 + z - x - y) \ne 0$ , to z równości (2) wynika, że

$ \sqrt{z} = \frac{(w^2 + z - x - y)^2 + 4w^2z - 4xy}{4w (w^2 + z - x - y)}, $

a zatem w tym przypadku $\sqrt{z}$ jest liczbą wymierną.

Jeżeli zaś $w(w^2 + z - x - y) = 0$ , to zachodzi jeden z przypadków:

a) $w = 0$ , wówczas $\sqrt{x} = \sqrt{y} = \sqrt{z} = 0$ ,

b) $w \ne 0$ , $w^2 + z - x - y = 0$ , wówczas równość (1) daje $2 \sqrt{xy} = - 2w \sqrt{z}$ ; ponieważ liczby $2\sqrt{xy}$ i $2w \sqrt{z}$ są nieujemne, więc z ostatniej równości wynika, że są one równe zeru, tj. $2w\sqrt{z} = 0$ , a że $w \ne 0$ , więc $\sqrt{z} = 0$ .

Dowiedliśmy, że $\sqrt{z}$ jest liczbą wymierną; analogicznie stwierdzamy, że $\sqrt{x}$ i $\sqrt{y}$ są liczbami wymiernymi.

Uwaga. Zachodzi twierdzenie ogólne: jeżeli $x_1, x_2, \ldots, x_n$ oraz $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + \ldots + \sqrt{x_n}$ są liczbami wymiernymi, to również $\sqrt{x_1}, \sqrt{x_2}, \ldots, \sqrt{x_n}$ są liczbami wymiernymi.

Aby to twierdzenie uzasadnić, musimy się zapoznać z pewnym ważnym pojęciem algebry, a mianowicie z pojęciem ciała liczbowego.

Definicja. Ciałem liczbowym nazywa się każdy zbiór liczb $Q$ zawierający przynajmniej dwie liczby i posiadający własność następującą: Jeżeli $a$ i $b$ są liczbami należącymi do zbioru $Q$ , to liczby $a + b$ , $a - b$ , $ab$ i $\frac{a}{b}$ (o ile $b \ne 0$ ) także należą do $Q$ (Wystarczy warunek, żeby wraz z $a$ i $b$ należały do $Q$ liczby $a - b$ i $\frac{a}{b}$ (gdy $b \ne 0$ ); wówczas $a + b$ i $ab$ też należą do $Q$ . Stwierdzenie tego faktu pozostawiamy jako ćwiczenie.

Można by też powiedzieć, że ciałem liczbowym nazywa się każdy taki zbiór liczb (zawierający przynajmniej jedną liczbę różną od zera), w którym są wykonalne cztery działania arytmetyczne z wyjątkiem dzielenia przez zero.

Przykładem ciała liczbowego jest zbiór wszystkich liczb wymiernych. Ciałem jest również zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Natomiast zbiór liczb całkowitych jak również zbiór liczb niewymiernych nie są ciałami liczbowymi.

Łatwo spostrzec, że każde ciało liczbowe zawiera ciało liczb wymiernych. Istotnie, jeśli do ciała należy liczba $a$ różna od zera, to należy doń również liczba $\frac{a}{a} = 1$ , a więc też liczby $1+1 = 2, 2+1 = 3, \ldots$ itd., ciało zawiera więc wszystkie liczby naturalne. W takim razie zawiera ono również wszystkie różnice liczb naturalnych, a więc wszystkie liczby całkowite, a także wszystkie ilorazy liczb całkowitych, czyli liczby wymierne.

Możemy też powiedzieć, że ciało liczb wymiernych $\mathbb{W}$ jest najmniejszym ciałem liczbowym. Największym ciałem liczbowym (rzeczywistym) jest oczywiście zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ . Istnieje nieskończenie wiele ciał liczbowych pomiędzy $\mathbb{W}$ i $\mathbb{R}$ , tzn. takich ciał, które zawierają $\mathbb{W}$ i są zawarte w $\mathbb{R}$ . Parę przykładów poznamy za chwilę.

Niech $Q$ oznacza pewne ciało liczbowe i niech $a$ będzie taką liczbą dodatnią należącą do $Q$ , że $\sqrt{a}$ nie należy do $Q$ . Weźmy pod uwagę liczby postaci $x + y \sqrt{a}$ , gdzie $x$ i $y$ należą do $Q$ ; zbiór wszystkich takich liczb oznaczymy symbolem $Q (\sqrt{a})$ ; zbiór $Q$ jest oczywiście częścią zbioru $Q (\sqrt{a})$ . Łatwo spostrzec, że $Q(\sqrt{a})$ jest ciałem liczbowym. Istotnie, jeżeli $z_1 = x_1 + y_1 \sqrt{a}$ i $z_2 = x_2 + y2 \sqrt{a}$ są dwiema liczbami ze zbioru $Q(\sqrt{a})$ , to

$ z_1 \pm z_2= (x_1 \pm x_2) + (y_1 \pm y_2)\sqrt{a} $

$ z_1z_2 = (x_1 + y_1 \sqrt{a}) (x_2 + y_2 \sqrt{a}) = x_1x_2 + y_1y_2 a + (x_1y_2 + x_2y_1) \sqrt{a}, $

a gdy $z_2 \ne 0$ , to również $x_2 - y_2 \sqrt{a} \ne 0$ i

$ \begin{split} \frac{z_1}{z_2} & = \frac{x_1 + y_1\sqrt{a}}{x_2 + y_2\sqrt{a}} = \frac{(x_1 + y_1 \sqrt{a})(x_2 - y_2 \sqrt{a})}{(x_2 + y_2 \sqrt{a})(x_2 - y_2\sqrt{a})} =\\ & = \frac{x_1x_2 - y_1y_2a + (x_2y_1 - x_1y_2)\sqrt{a}}{x_2^2 - y^2_2 \cdot a} = \frac{x_1x_2 - y_1y_2a}{x_2^2 - y^2_2 a} + \frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2^2 - y^2_2a} \cdot \sqrt{a}, \end{split} $

a więc liczby $z_1 + z_2$ , $z_1 - z_2$ , $z_1z_2$ oraz $\frac{z_1}{z_2}$ (gdy $z_2 \ne 0$ ) należą do zbioru $Q (\sqrt{a})$ .

Niech na przykład $Q$ będzie ciałem liczb wymiernych, wówczas $Q(\sqrt{2})$ jest ciałem utworzonym przez wszystkie liczby postaci $x + y \sqrt{2}$ , gdzie $x$ i $y$ są liczbami wymiernymi. Do ciała $Q (\sqrt{2})$ należą na przykład liczby $3, \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}, 3 + 5 \sqrt{2}$ itd. Natomiast liczba $\sqrt{3}$ nie należy do ciała $Q (\sqrt{2})$ , czytelnik zechce to sam udowodnić. Na mocy powyższego wszystkie liczby postaci $u + v\sqrt{3}$ , gdzie $u$ i $v$ oznaczają dowolne liczby ciała $Q (\sqrt{2})$ , tworzą nowe ciało, zawierające ciało $Q(\sqrt{2})$ ; oznaczymy je symbolem $Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ . Łatwo sprawdzić, że ciało $Q)\sqrt{2}, \sqrt{3})$ jest to zbiór wszystkich liczb postaci $a + b \sqrt{2} +c\sqrt{3} + d\sqrt{6}$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ oznaczają liczby wymierne. Dalsze wiadomości o ciałach liczbowych można znaleźć w książkach cytowanych na str. 24.

Udowodnimy obecnie
Twierdzenie. Jeżeli liczby nieujemne $x_1, x_2, \ldots, x_n$ oraz liczba $s = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + \ldots + \sqrt{x_n}$ należą do pewnego ciała liczbowego $Q$ , to każda z liczb $\sqrt{x_1}, \sqrt{x_2}, \ldots, \sqrt{x_n}$ należy do $Q$ .

Dowód. Zastosujemy indukcję zupełną.

Gdy $n = 1$ , twierdzenie jest oczywiste.

2° Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla $n = k$ i niech $x_1, x_2, \ldots, x_k, x_{k +1}$ będą liczbami nieujemnymi należącymi do pewnego ciała liczbowego $Q$ ; niech ponadto liczba $s = \sqrt{x_1} + \ldots + \sqrt{x_k} + \sqrt{x_{k+1}}$ również należy do $Q$ . Udowodnimy, że liczby $\sqrt{x_1}, \ldots, \sqrt{x_k}, \sqrt{x_{k+1}}$ należą do $Q$ .

W tym celu przypuśćmy, że żadna z liczb $\sqrt{x_1}, \ldots, \sqrt{x_k}, \sqrt{x_{k+1}}$ nie należy do $Q$ i weźmy pod uwagę ciało liczbowe $Q (\sqrt{x_{k+1}})$ utworzone przez wszystkie liczby postaci $a + b \sqrt{x_{k+1}}$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami ciała $Q$ . Liczby $x_1, \ldots, x_k$ jako należące do $Q$ należą tym samym do obszerniejszego ciała $Q (\sqrt{x_{k+1}})$ . Do ciała $Q (\sqrt{x_{k+1}})$ należy również liczba $\sqrt{x_1} + \ldots + \sqrt{x_k}$ , gdyż jest równa $s - \sqrt{x_{k+1}}$ ; zatem w myśl założenia indukcyjnego każda z liczb $\sqrt{x_i}$ ( $i = 1, 2 \ldots,k$ ) należy do $Q(\sqrt{x_{k+1}})$ . A więc

$ \sqrt{x_i} = a_i + b_i \sqrt{x_{k+1}},\ i=1,2,\ldots,k, $

gdzie $a_i$ i $b_i$ są liczbami ciała $Q$ , przy czym $b_i \ne 0$ , gdyż $\sqrt{x_i}$ nie należy do ciała $Q$ .

Podnosząc obie strony tej równości do kwadratu otrzymujemy

$ x_i = a_1^2 + b_1^2 x_{k+1} + 2ab_i \sqrt{x_{k+1}}. $

Stąd widać, że $a_i = 0$ dla każdego $i$ . Gdyby bowiem dla pewnej wartości $i$ było $a_i \ne 0$ , więc też $a_ib_i \ne 0$ , to z powyższej równości otrzymalibyśmy

$ \sqrt{x_{k+1}} = \frac{x_i - a_i^2 - b_i^2 x_{k+1}}{2a_ib_i}, $

skąd wynikałoby, że $\sqrt{x_{k+1}}$ należy do ciała $Q$ wbrew założeniu. Zatem

$ x_1 = b1\sqrt{x_{k+1}},\ \sqrt{x_2} = b_2 \sqrt{x_{k+1}},\ \ldots,\ \sqrt{x_k} = b_k \sqrt{x_{k+1}}, $

przy czym liczby $b_1, b_2, \ldots, b_k$ są nieujemne. Stąd

$ \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + \ldots + \sqrt{x_k} + \sqrt{x_{k+1}} = (b_1 + b_2 + \ldots + b_k + 1) \cdot \sqrt{x_{k+1}}, $

a ponieważ

$ b_1 + b_2 + \ldots + b_k + 1 > 0, \textrm{ a } \sqrt{x_1} + \ldots + x_{k+1} = s, $

więc

$ \sqrt{x_{k+1}} = \frac{s}{b_1+b_2+\ldots+b_k+1}, $

skąd wynika że $\sqrt{x_{k+1}}$ należy do $Q$ - wbrew założeniu.

Przypuszczenie, że żadna z liczb $\sqrt{x_1}, \ldots, \sqrt{x_k}, \sqrt{x_{k+1}}$ nie należy do ciała $Q$ prowadzi do sprzeczności, zatem przynajmniej jedna z tych liczb należy do $Q$ ; niech to będzie na przykład $\sqrt{x_r}$ . W takim razie liczba $\sqrt{x_1} + \ldots + \sqrt{x_{r-1}} + \sqrt{x_{r+1}} + \ldots + \sqrt{x_{k+1}}$ równa $s - \sqrt{x_r}$ też należy do $Q$ , wobec czego na podstawie założenia indukcyjnego każda z $k$ liczb $\sqrt{x_1}, \ldots , \sqrt{x_{r_1}}, \sqrt{x_{r+1}}, \ldots , \sqrt{x_{k+1}}$ również należy do $Q$ . Dowód twierdzenia został przeprowadzony.