VIII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli czworokąt wypukły ma tę własność, że istnieje okrąg styczny do jego boków (tzn. okrąg wpisany), a także okrąg styczny do przedłużeń jego boków (okrąg dopisany), to przekątne czworokąta są do siebie prostopadłe.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że czworokąt wypukły (rys. 17) spełnia wymienione wyżej warunki.

1. Z założenia, że istnieje okrąg wpisany w czworokąt, wynika, że sumy boków przeciwległych czworokąta są równe, tj.

2. Z założenia, że istnieje okrąg styczny do przedłużeń boków czworokąta wynika według oznaczeń przyjętych na rys. 17.

Ze związków (2) otrzymujemy

a ponieważ według znanego twierdzenia o stycznych do okręgu

więc

Dodajemy i odejmujemy (1) i (3) stronami; po skróceniu przez otrzymujemy

Z równości (4) wynika, że czworokąt jest deltoidem. Ponieważ przekątne deltoidu są prostopadłe (gdyż wierzchołki i leżą symetrycznie względem przekątnej ), więc twierdzenie zostało udowodnione.

Uwaga 1. Jeżeli czworokąt jest deltoidem, jego przekątne są prostopadłe, ale nie na odwrót, gdyż czworokąt o prostopadłych przekątnych tylko wtedy jest deltoidem, gdy jedna z tych przekątnych jest osią symetrii czworokąta. W powyższym rozwiązaniu udowodniliśmy zatem twierdzenie mocniejsze od twierdzenia podanego w tekście zadania 18.

Uwaga 2. Zachodzi również twierdzenie odwrotne: Jeżeli czworokąt jest deltoidem (wypukłym), to istnieje zarówno okrąg styczny do jego boków jak okrąg styczny do przedłużeń boków. Wynika to natychmiast z faktu, że jedna z przekątnych deltoidu np. (rys. 18) jest jego osią symetrii. Wobec tej symetrii okrąg, którego środek leży na prostej i który jest styczny do boków i (bądź do przedłużeń boków i ) jest również styczny do boków i (bądź do przedłużeń boków i ).

Uwaga 3. Rozumowanie użyte wyżej przy rozwiązaniu zadania 18 zawiera pewną lukę. Mianowicie wzory (2) wysnuliśmy z obserwacji rysunku 17, nie zastanawiając się nad tym, czy wzajemne położenie rozważanych punktów musi być zawsze takie, jak na tym rysunku. Dokładniej mówiąc, chodzi o to, czy wierzchołki czworokąta wypukłego mającego okrąg dopisany można zawsze tak oznaczyć literami , , , , aby punkty styczności tego okręgu z przedłużeniami boków czworokąta znajdowały się na półprostych , , , jak to ma właśnie miejsce na rys. 17. Udowodnimy, że tak jest istotnie.

Weźmy pod uwagę jeden z boków danego czworokąta wypukłego i prostą , na której leży ten bok. Rozróżnimy dwa przypadki.

a) Czworokąt i okrąg dopisany znajduje się po tej samej stronie prostej . W takim razie, punkt styczności prostej z okręgiem oznaczymy literą , a wierzchołki boku leżącego na prostej oznaczymy literami i w taki sposób, żeby punkt leżał na półprostej . Pozostałe wierzchołki oznaczymy literami i w ten sposób, aby na obwodzie czworokąta otrzymać kolejność , , , . Wreszcie punkty styczności prostych , , z okręgiem dopisanym oznaczymy odpowiednio literami , , .

Wówczas punkt leży na półprostej , a punkt - na półprostej , gdyż punkty i a także punkty i znajdują się po tej samej stronie prostej . Punkt zaś leży na półprostej , gdyż punkty i leżą po przecjwnych stronach prostej (albowiem czworokąt i okrąg znajdują się po przeciwnych stronach prostej ). Mamy więc takie położenie wzajemne punktów figury, jak na rys. 17 i zachodzą wzory (2).

b) Czworokąt i okrąg dopisany znajdują się po przeciwnych stronach prostej . W tym przypadku punkt styczności prostej z okręgiem oznaczamy literą , a wierzchołki boku leżącego na prostej oznaczamy literami i w taki sposób, żeby punkt leżał na półprostej . Pozostałe wierzchołki oznaczamy literami i w ten sposób, żeby na obwodzie czworokąta otrzymać kolejność , , , ; wreszcie punkty styczności prostych , , z okręgiem dopisanym oznaczamy odpowiednio literami , , . Sprawdzamy jak w a), że punkty , , leżą odpowiednio na półprostych , , .