IX CPS - Zadanie 1

Niech $ \mathbb R_+ $ oznacza zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Znaleźć wszystkie funkcje $ f:\mathbb R_+\to\mathbb R_+ $, spełniające dla dowolnych $ x,y\in\mathbb R_+ $ zależność

\[<br /> (1+yf(x))(1-yf(x+y))=1.<br /> \]

Rozwiązanie

Niech $ f(1)=a>0 $. Podstawiając $ x=1 $ i przekształcając równanie z treści zadania, otrzymujemy

\[<br /> (1+ay)\left(1-yf(y+1)\right)=1,\\<br /> ay-yf(y+1)(1+ay)=0,\\<br /> f(y+1)=\frac a{1+ay}.<br /> \]

Następnie ponownie przekształcamy równanie z treści zadania, podstawiając $ y=1 $ i $ f(x+1)=a/(1+ax) $:

\[<br /> \begin{split}<br /> \left(1+f(x)\right)\left(1-\frac a{1+ax}\right)&=1,\\<br /> f(x)\cdot\frac{1+ax-a}{1+ax}&=\frac a{1+ax},\\<br /> f(x)&=\frac a{1+ax-a}=\frac1{x+\frac1a-1}=\frac1{x+c},<br /> \end{split}<br /> \]

gdzie $ c=1/a-1 $. Wiadomo, że $ f(x)>0 $ dla wszystkich $ x>0 $, więc $ x+c>0 $ dla $ x>0 $ i stąd $ c\geq0 $.

Na koniec sprawdzimy, że funkcja $ f(x)=1/(x+c) $ spełnia warunki zadania dla dowolnego $ c\geq0 $:

\[<br /> \left(1+\frac y{x+c}\right)\left(1-\frac y{x+y+c}\right)=\frac{x+c+y}{x+c}\cdot\frac{x+y+c-y}{x+y+c}=1.<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź