Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

V OM - I - Zadanie 1

Znaleźć takie liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , żeby równość

$ (1) \qquad \frac{2x-7}{4x^2 + 16x + 15} = \frac{a}{x + c} + \frac{b}{x + d} $

była tożsamością.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że $4x^2 + 16x + 15 = 4 \left( x^2 + 4x + \frac{15}{4} \right) = 4 \left( x + \frac{5}{2} \right) + \left( x + \frac{3}{2} \right)$ ; lewa strona równości (1) ma więc wartość liczbową (inaczej: sens liczbowy) tylko dla wartości $x$ różnych od $- \frac{5}{2}$ i od $-\frac{3}{2}$ . Prawa zaś strona równości (1) ma sens liczbowy tylko dla wartości $x$ różnych od $- c$ i $- d$ . Jeśli równość (1) ma być tożsamością, to obie jej strony muszą mieć sens liczbowy dla tych samych wartości $x$ ; zatem mianownikami ułamków po prawej stronie muszą być dwumiany $x + \frac{5}{2}$ , $x + \frac{3}{2}$ i zadanie sprowadza się do następującego prostszego zadania:

Znaleźć takie liczby $a$ i $b$ , żeby równość

$ (2) \qquad \frac{2x - 7}{4x^2 + 16x + 15} = \frac{a}{x + \frac{5}{2}} + \frac{b}{x + \frac{3}{2}} $

była tożsamością.

Przypuśćmy, że takie liczby istnieją, tzn. że równość (2), w której $a$ i $b$ oznaczają określone liczby, jest tożsamością. Obie strony równości (2) przybierają zatem dla każdej wartości $x$ różnej od $- \frac{5}{2}$ i od $- \frac{3}{2}$ jednakowe wartości liczbowe.

Pomnóżmy obie strony równości (2) przez $4x^2 + 16x + 15$ :

$ (3) \qquad 2x - 7 = 4a \left(x + \frac{3}{2} \right) + 4b \left(x + \frac{5}{2} \right) . $

Równość (3) także musi być prawdziwa dla każdej wartości $x$ różnej od $- \frac{5}{2}$ i od $- \frac{3}{2}$ . Lecz obie strony równości (3) są funkcjami stopnia pierwszego zmiennej $x$ . Wiadomo zaś, że jeżeli dwie funkcje stopnia pierwszego zmiennej $x$ przybierają równe wartości choćby tylko dla dwóch różnych wartości $x$ , to mają równe współczynniki przy $x$ i równe wyrazy stałe (są więc tożsamościowo równe).

Zatem równość (3) spełnia warunki

$ (4) \qquad \begin{array}{c} 4a + 4b = 2,\\ 6a + 10b = -7, \end{array} $

a stąd

$ (5) \qquad a = 3,\ b = - \frac{5}{2}. $

Podstawiając te wartości do równości (2) otrzymujemy

$ (6) \qquad \frac{2x - 7}{4x^2 + 16x + 15} = \frac{3}{x+\frac{5}{2}} + \frac{-\frac{5}{2}}{x + \frac{3}{2}}. $

Z rozumowania, które przeprowadziliśmy, nie wynika jeszcze, że równość (6) istotnie jest tożsamością; udowodniliśmy tylko, że jeżeli rozwiązanie zadania istnieje, to jest nim równość (6). Trzeba więc jeszcze sprawdzić, czy obie strony równości (6) są rzeczywiście tożsamościowo równe. Można by w tym celu przekształcić tożsamościowo prawą stronę równości (6), a mianowicie sprowadzić oba jej składniki do wspólnego mianownika, wykonać dodawanie i uprościć wynik; otrzymalibyśmy wówczas taki sam ułamek, jaki mamy po lewej stronie równości (6). Rachunek ten jest jednak niepotrzebny, gdyż możemy go zastąpić następującym krótkim rozumowaniem :

Jeżeli $a$ i $b$ mają wartości (5), to prawdziwe są równości (4); wobec tego obie strony równości (3) są funkcjami stopnia pierwszego zmiennej $x$ o jednakowych współczynnikach przy $x$ i jednakowych wyrazach stałych, więc równość (3) jest prawdziwa dla każdej wartości $x$ . Dzieląc równość (3) obustronnie przez $4 \left(x + \frac{5}{2} \right) \left(x + \frac{3}{2} \right)$ otrzymuje się równość (2), więc (gdy $a = 3$ i $b = - \frac{5}{2}$ ] równość (2) jest prawdziwa dla każdej wartości $x$ różnej od $- \frac{5}{2}$ i od $- \frac{3}{2}$ , tzn. równość (6) jest tożsamością.

Uwaga 1. Wartości $a$ i $b$ można obliczyć również w sposób następujący. Równość (3) musi być prawdziwa dla każdej wartości $x$ , a więc (w odróżnieniu od równości (2)) również dla $x = - \frac{5}{2}$ i $x = - \frac{3}{2}$ . Podstawiając te wartości do równości (3) otrzymujemy od razu $- 12 = - 4a$ i $- 10 = 4b$ , skąd $a = 3$ , $b = - \frac{5}{2}$ .

Uwaga 2. Twierdzenie, że dwie funkcje stopnia pierwszego, które przybierają równe wartości dla dwóch (różnych) wartości $x$ , mają odpowiednio równe współczynniki, jest przypadkiem szczególnym twierdzenia: {\it Jeżeli zachodzi równość dwóch wielomianów stopnia $n$ zmiennej $x$

$ a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n = b_0x^n + b_1x^{n-1} + \ldots + b_{n-1} x + b_n $

dla $n + 1$ różnych wartości $x$ , to odpowiednie współczynniki tych wielomianów są równe, równość ta jest więc tożsamością.}

Równość powyższą możemy zastąpić równością

$ (a_0 - b_0)x^n + (a_1 - b_1) x^{n-1} + \ldots + (a_{n-1} - b_{n-1}) x + (a_n - b_n) = 0 $

i nadać twierdzeniu brzmienie:

Jeżeli wielomian stopnia $n$ zmiennej $x$ przybiera wartość $0$ dla $n +1$ różnych wartości $x$ (inaczej: ma $n + 1$ różnych pierwiastków), to wszystkie współczynniki tego wielomianu są zerami, wielomian jest więc tożsamościowo równy zeru.

Twierdzenie to możemy udowodnić, jak następuje. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianów stopnia $n - 1$ . Niech wielomian

$ (7) \qquad c_0x^n + c_1x^{n-1} + \ldots + c_{n-1}x + c_n $

ma $n + 1$ różnych pierwiastków $x_1, x_2, \ldots, x_{n+1}$ . Można wówczas wyznaczyć liczby $d_0, d_1, \ldots, d_{n-1}$ w ten sposób, że zachodzi tożsamość

$ (8) \qquad c_0x^n + c_1x^{n-1} + \ldots + c_{n-1}x + c_n = (x - x_1) (d_0x^{n-1} + d_1x^{n-2} + \ldots + d_{n-2} x + d_{n-1}). $

Istotnie, wystarczy w tym celu znaleźć takie wartości $d_0, d_1, \ldots, d_{n-1}$ , żeby współczynniki przy jednakowych potęgach $x$ były po obu stronach równości (8) jednakowe, tj. żeby $d_1, d_2, \ldots, d_{n-1}$ spełniały układ równań

$ (9) \qquad \begin{array}{c} c_0 = d_0,\\ c_1 = d_1 - d_0x_1,\\ c_2 = d_2 - d_1x_1,\\ \ldots,\\ c_{n-1} = d_{n-1} - d_{n-2} \cdot x_1,\\ c_n = -d_{n-1} x_1. \end{array} $

Z pierwszych $n - 1$ równań układu (9) otrzymujemy kolejno

$ \begin{array}{c} d_0 = c_0\\ d_1 = c_1 + d_0x_1 = c_1 + c_0x_1,\\ d_2 = c_2 + d_1x_1 = c_2 + c_1x_1 + c_0x_1^2,\\ \ldots,\\ d_{n-1} = c_{n-1} + d_{n-2}x_1 = c_{n-1} + c_{n- 2}x_1 + \ldots + c_1x_1^{n-2} + c_0x_1^{n-1}. \end{array} $

Powyższe wartości spełniają również ostatnie równanie układu (9); podstawiając bowiem do tego równania znalezioną wartość $d_{n-1}$ otrzymujemy

$ c_n =- (c_{n-1} + c_{n-2}x_1+ \ldots + c_1x_1^{n-2} + c_0x_1^{n-1}) x_1 $

lub

$ c_0x_1^n + c_1x_1^{n-1} + \ldots + c_{n-1}x_1 + c_n = 0, $

a ta równość jest prawdziwa, gdyż $x_1$ jest pierwiastkiem wielomianu (7).

Z tożsamości (8) wynika, że liczby $x_2, x_3,\ldots, x_{n+1}$ , które są według założenia pierwiastkami wielomianu stojącego po lewej stronie tej tożsamości, są również pierwiastkami wielomianu znajdującego się po stronie prawej, a ponieważ czynnik $x - x_1$ dla żadnej z $n$ liczb $x_2, x_3, \ldots, x_{n+1}$ nie równa się zeru, więc liczby te są pierwiastkami wielomianu $d_0x^{n-1} + d_1x^{n-2} + \ldots + d_{n-2}x + d_{n-1}$ stopnia $n - 1$ . W takim razie na mocy uczynionego na wstępie założenia $d_0 = d_1 = \ldots = d_{n-2} = d_{n-1} = 0$ a wobec równości (9)

$ c_0 = c_1 = c_2 = \ldots = c_{n-1} = c_n = 0. $

Dowiedliśmy, że jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianów stopnia $n - 1$ , to jest także prawdziwe dla wielomianów stopnia $n$ . Otóż twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianów stopnia pierwbzego, jeśli bowiem wielomian $c_0x + c_1$ równa się zeru dla dwóch różnych wartości $x = x_1$ i $x = x_2$ , tj. $c_0x_1 + c_1 = 0$ i $c_0x_2 + c_1 = 0$ , to odejmując te równości otrzymamy $c_0 (x_1 - x_2) = 0$ , skąd $c_0 = 0$ , zatem również $c_1 = 0$ .

Na podstawie zasady indukcji zupełnej wnioskujemy z obu powyższych przesłanek, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianów dowolnego stopnia.

Uwaga 3. W rozumowaniach powyższych korzystaliśmy z pojęcia tożsamości dwóch wyrażeń algebraicznych. Pojęcie to określamy zwykle w sposób następujący.

Niech będą dane dwa wyrażenia (funkcje) $A (x, y, \ldots)$ i $B (x, y,\ldots)$ zawierające te same zmienne (argumenty) $x, y, \ldots$ . Mówimy, że $A (x, y, \ldots)$ i $B (x, y, \ldots)$ są równe tożsamościowo, lub że równość $A (x, y, \ldots) = B (x, y, \ldots)$ jest tożsamością, jeżeli dla każdego układu liczb $x_0, y_0, \ldots$ , dla którego jedno z tych wyrażeń ma określoną wartość liczbową, drugie wyrażenie ma także określoną wartość liczbową, przy czym obie te wartości są równe, tj. $A (x_0, y_0, \ldots) = B (x_0, y_0, \ldots)$ . Dwa wyrażenia równe tożsamościowo trzeciemu są oczywiście też równe tożsamościowo. Przejście od jednego wyrażenia do wyrażenia tożsamościowo mu równego nazywa się przekształceniem tożsamościowym danego wyrażenia.

Często dogodnie bywa posługiwać się ogólniejszym pojęciem tożsamości. Przypuśćmy, że mamy dane dwa wyrażenia $A (x,y, \ldots)$ i $B(x,y, \ldots)$ oraz pewien zbiór liczb $Z$ . Mówimy, że równość $A(x, y, \ldots) = B (x, y, \ldots)$ jest {\it tożsamością w zbiorze $Z$ }, jeżeli równość jest prawdziwa dla dowolnych wartości $x, y, \ldots$ należących do zbioru $Z$ . Równość będąca tożsamością w pewnym zbiorze liczb może nie być tożsamością w innym zbiorze. Na przykład równość

$ \log xy = \log x + \log y $

jest tożsamością w zbiorze liczb dodatnich, ale nie jest tożsamością w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych, bo gdy $x < 0$ i $y < 0$ , lewa strona tej równości ma sens liczbowy, a prawa strona nie ma sensu liczbowego. Podobnie równość