V OM - I - Zadanie 5

Rozwiązać układ równań

\[<br /> (1) \qquad<br /> x + y + z + t = 10,\<br /> xy + zt = 14,\<br /> xz + yt = 11,\<br /> xyzt = 24.<br /> \]

Rozwiązanie

Dodajemy drugie i trzecie równanie układu (1); otrzymujemy $ xy + zt + xz + yt = 25 $ lub $ (x + t) (y + z) = 25 $; biorąc to równanie zamiast trzeciego równania układu (1) otrzymujemy równoważny układ równań

\[<br /> (2) \qquad<br /> \begin{array}{c}<br /> x + y + z + t = 10,\\<br /> (x + t)(y + z) = 25,\\<br /> xy + zt = 14,\\<br /> xyzt = 24.<br /> \end{array}<br /> \]

W pierwszych dwóch równaniach układu (2) możemy potraktować jako niewiadome $ x + t $ i $ y + z $; mając daną sumę $ 10 $ i iloczyn $ 25 $ tych niewiadomych znajdujemy łatwo $ x + t = 5 $, $ y + z = 5 $.

Podobnie dwa ostatnie równania układu (2) możemy potraktować jako układ równań z niewiadomymi $ xy $ i $ zt $; otrzymamy stąd $ xy = 12 $, $ zt = 2 $, lub $ xy = 2 $, $ zt = 12 $.

Układ równań (2) jest zatem równoważny alternatywie:

\[<br /> (3a )\qquad<br /> \begin{array}{l}<br /> x + t = 5,\\<br /> y + z = 5,\\<br /> xy = 12,\\<br /> zt = 2<br /> \end{array}<br /> \textrm{ lub }<br /> \nr{3b}<br /> \begin{array}{l}<br /> x + t = 5,\\<br /> y + z = 5,\\<br /> xy = 2,\\<br /> zt= 12.<br /> \end{array}<br /> \]

Zamiast pierwszych dwóch równań układu (3a) możemy napisać $ t = 5 - x $, $ z = 5 - y $; podstawiając te wyrażenia w ostatnie równanie otrzymujemy $ (5 - x) (5 - y) = 2 $, a stąd, po uwzględnieniu trzeciego równania, $ x + y = 7 $. Podobnie w układzie (3b), ostatnie równanie można zastąpić równaniem $ x + y = 3 $. Dany układ równań jest więc równoważny alternatywie

\[<br /> (4a )\qquad<br /> \begin{array}{l}<br /> x + y = 7,\\<br /> xy = 12,\\<br /> z = 5 - y,\\<br /> t = 5 - x<br /> \end{array}<br /> \textrm{ lub }<br /> \nr{4b}<br /> \begin{array}{l}<br /> x + y = 3,\\<br /> xy = 2,\\<br /> z = 5 - y,\\<br /> t = 5 - x.<br /> \end{array}<br /> \]

Z pierwszych dwóch równań układu (4a) otrzymujemy $ x = 3 $, $ y = 4 $, lub $ x = 4 $, $ y = 3 $, a z pierwszych dwóch równań układu (4b) mamy $ x = 1 $, $ y = 2 $ lub $ x = 2 $, $ y = 1 $.

Dwa ostatnie równania każdego z układów (4a) i (4b) dają odpowiednie wartości $ z $ i $ t $. Dany układ równań ma zatem cztery rozwiązania; są nimi układy liczb

\[<br /> (3,4,1,2),\ (4,3,2,1),\ (1,2,3,4),\ (2,1,4,3),<br /> \]

w których liczby stojące na miejscu pierwszym, drugim, trzecim i czwartym oznaczają odpowiednio wartości $ x $, $ y $, $ z $, $ t $.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź