Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

IV OM - III - Zadanie 5

Z punktu $O$ wyrusza po prostoliniowej szosie samochód i jedzie ze stałą prędkością $v$ . Do samochodu tego pragnie podać list rowerzysta, który znajduje się w odległości $a$ od punktu $O$ i w odległości $b$ od szosy. Z jaką minimalną prędkością powinien jechać rowerzysta, aby osiągnąć swój cel?

Rozwiązanie

Przyjmiemy, że $b > 0$ ; niech Czytelnik sam sformułuje odpowiedź na postawione pytanie w przypadku, gdy $b = 0$ , tj. gdy rowerzysta znajduje się na szosie.

Niech $M$ oznacza punkt, w którym znajduje się rowerzysta, $S$ - punkt spotkania, $\alpha$ - kąt $MOS$ , $t$ - czas, jaki upłynie od chwili początkowej do chwili spotkania a $x$ - prędkość rowerzysty. Zauważmy, że

$ \frac{x}{v} = \frac{xt}{vt} = \frac{MS}{OS}, $

a stąd według twierdzenia sinusów (rys. 48)

$ \frac{x}{v} \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \textrm { i } x = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \cdot v. $

Z tej równości wynika, że $x$ osiąga najmniejszą wartość, gdy $\sin \beta$ jest największy. Jeśli $\alpha < 90^\circ$ , zachodzi to dla wartości $\beta = 90^\circ$ , zatem

$ x_{\textrm{min}} = v \sin \alpha = \frac{vb}{a}. $

Jeśli $a \geq 90^\circ$ (rys. 49), to kąt $\beta$ jest ostry; największa wartość $\sin \beta$ nie istnieje, prędkość $x$ jest tym mniejsza, im kąt $\beta$ jest bliższy kąta ostrego $180^\circ - \alpha$ . Gdy kąt $\beta$ rośnie i dąży do $180^\circ - \alpha$ , prędkość $x$ maleje i dąży do $v$ .