Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

III OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $u \geq 0$ , $v \geq 0$ , $w \geq 0$ , to zachodzi nierówność

$ (1) \qquad u^3 + v^3 + w^3 \geq 3uvw. $

Rozwiązanie

Gdy któraś z liczb $u$ , $v$ , $w$ równa się zeru, nierówność powyższa jest prawdziwa, gdyż prawa jej strona równa się wtedy zeru, a lewa jest nieujemna. Trzeba więc tylko dowieść, że gdy $u > 0$ , $v > 0$ , $w > 0$ , to

$ u^3 + v^3 + w^3 \geq 3uvw. $

\spos{I} Rozłożymy wielomian $u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw$ na czynniki. Przekształcimy w tym celu sześcian sumy liczb $u$ , $v$ , $w$ w następujący sposób:

$ \begin{split} (u& + v + w)^3 = (u + v)^3 + 3 (u + v)^2 w + 3 (u + v) w^2 + w^3 = \\ & = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + 3u^2w + 6uvw + 3v^2w + 3uw^2 + 3vw^2 + w^3 = \\ & = u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw + (3u^2v + 3uv^2 + 3uvw) + (3v^2w + 3vw^2 + 3uvw) + \\ & + (3u^2w + 3uw^2 + 3uvw) = u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw + 3uv (u + v + w) + \\ & + 3vw (u + v + w) + 3wu (u + v + w) = u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw + \\ & + 3 (u + v + w) (uv + vw + wu). \end{split} $

Stąd

$ \begin{split} u^3 +& v^3 + w^3 - 3uvw =\\ & = (u + v + w)^3 - 3 (u + v + w)(uv + vw + wu) = \\ & = (u + v + w) [(u + v + w)^2 - 3 (uv + vw + wu)] =\\ & = (u + v + w) (u^2 + v^2 + w^2 - uv - vw - wu) = \\ & = \frac{1}{2} (u + v + w) (2u^2 + 2v^2 + 2w^2 - 2 uv - 2vw - 2wu). \end{split} $

Ostatecznie otrzymujemy

$ u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw = \frac{1}{2} (u + v + w)[(u- v)^2 + (v-w)^2 + (w - u)^2]. $

Ponieważ $u + v + w > 0$ , a $(u - v)^2 + (v - w)^2 + (w - u)^2 \geq 0$ , więc

$ u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw \geq 0, $

co było do okazania.

Wersja do wydruku

Komentarze

by Gość - 09/05/2012 - 15:47

łatwiejszy sposób

[ będę oznaczał jako pierwiastek ^ jako potęgę
<= oznacza mniejsze/równe
8uvw = 8[uv[vw[wu <= (u+v)(v+w)(w+u) = 2uvw + u^2w + u^2v + w^2u +
+ w^2v + v^2w + v^2u

6uvw <= uv(u+v) + uw(u+w) vw(v+w) <= (u+v)(u^2 - uv +v^2) + (u+w)(u^2 -uw +w^2) + (v+w)(v^2 - vw + w^2) = 2(u^3 + v^3 + w^3)

skracając uzyskujemy tezę
te sposób wydaje mi się łatwiejszy

Odpowiedz