Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

II OM - III - Zadanie 4

Wyznaczyć współczynniki równania

$ (1) \qquad x^3 - ax^2 + bx - c = 0 $

w taki sposób, żeby pierwiastkami tego równania były liczby $a$ , $b$ , $c$ .

Rozwiązanie

Wiemy z algebry, że liczby $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ są wtedy i tylko wtedy pierwiastkami równania $x^3 + mx^2 + nx + p = 0$ , gdy spełnione są warunki:

$ (2) \qquad \left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 + x_3 = - m\\ x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1= n\\ x_1x_2x_3 = -p. \end{array} \right. $

Liczby $a$ , $b$ , $c$ są więc pierwiastkami równania (1) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają równania

$ (3) \qquad \left\{ \begin{array}{l} a + b + c = a\\ ab + bc + ca = b\\ abc = c. \end{array} \right. $

Pierwsze z tych równań daje $b + c = 0$ , co pozwala zredukować lewą stronę drugiego równania do wyrazu $bc$ i zastąpić układ równań (3) równoważnym mu układem

$ (4) \qquad \left\{ \begin{array}{l} b + c = 0\\ b(c - 1) = 0\\ c (ab - 1 ) = 0. \end{array} \right. $

Według drugiego z tych równań powinno być $b = 0$ , lub $c - 1 = 0$ ; układ równań (4) możemy więc zastąpić alternatywą dwóch układów:

$ (4a )\qquad \left\{ \begin{array}{l} b + c = 0\\ b = 0\\ c (ab - 1 ) = 0 \end{array} \right. \textrm{ lub } (4b) \qquad \left\{ \begin{array}{l} b + c = 0\\ c - 1 = 0\\ c (ab - 1 ) = 0. \end{array} \right. $