III MEMO - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f\colon\mathbb R\to\mathbb R $, spełniające dla dowolnych $ x,y\in\mathbb R $ warunek

\[<br /> (1) \qquad<br /> f(xf(y))+f(f(x)+f(y))=yf(x)+f(x+f(y)).<br /> \]

Uwaga: $ \mathbb{R} $ oznacza zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Sposób

I

Zauważmy, że funkcja stała, równa 0 spełnia warunek (1). Załóżmy, że $ f(a)\neq0 $ dla pewnego $ a\in\mathbb R $. Udowodnimy, że wówczas funkcja $ f $ jest różnowartościowa.

Przypuśćmy, że $ f(y)=f(z) $ dla pewnych $ y,z\in\mathbb{R} $. Stosując dwukrotnie (1), otrzymujemy wtedy

\[<br /> \begin{split}<br /> zf(x)&=&f(xf(z))+f(f(x)+f(z))-f(x+f(z))=\\<br /> &=&f(xf(y))+f(f(x)+f(y))-f(x+f(y))=yf(x),<br /> \end{split}<br /> \]

więc $ yf(x)=zf(x) $. Podstawienie $ x=a $ prowadzi do $ y=z $, a tym samym dowodzi, że $ f $ jest różnowartościowa.

Wstawmy $ x=0 $ i $ y=1 $ do (1). Wtedy $ f(0)+f(f(0)+f(1))=f(0)+f(f(1)) $, czyli $ f(f(0)+f(1))=f(f(1)) $. Z różnowartościowości $ f $ wynika, że $ f(0)+f(1)=f(1) $, a stąd $ f(0)=0 $.

Wykonajmy kolejne podstawienie, $ y=0 $, w równaniu (1). Otrzymujemy $ f(f(x))=f(x) $ dla wszystkich $ x\in\mathbb R $ i na podstawie różnowartościowości $ f $ dochodzimy do wniosku, że $ f(x)=x $ dla wszystkich $ x\in\mathbb R $. Nietrudno sprawdzić, że taka funkcja spełnia (1).

Podsumowując, warunki zadania spełniają tylko dwie funkcje: funkcja stała $ f(x)=0 $ i funkcja identycznościowa $ f(x)=x $ dla $ x\in\mathbb R $.

Sposób

II

Lemat. Istnieje liczba rzeczywista $ x $, dla której $ f(x)=0 $.

Dowód lematu. Niech $ a=f(0) $. Rozważmy dwa przypadki:

Przypadek 1.: $ a\neq 1 $.

Wtedy wstawiamy $ y=0 $ do (1) i otrzymujemy $ f(xa)+f(f(x)+a)=f(x+a) $. Stąd, dla $ x=\frac{a}{a-1} $, zachodzi $ xa=x+a $, więc $ f(f(x)+a)=0 $.

Przypadek 2.: $ a=1 $.

Wtedy rozważamy następujące podstawienia w (1):

\[<br /> x=0, y=1;\quad x=f(1), y=0.<br /> \]

Prowadzą one do odpowiednio:

\[<br /> 1+f(1+f(1))=1+f(f(1));\quad f(f(1))+f(f(f(1))+1)=f(f(1)+1).<br /> \]

W konsekwencji $ f(f(f(1))+1)=0 $, co kończy dowód lematu.

Korzystając z powyższego lematu, znajdujemy liczbę $ a $, dla której $ f(a)=0 $. Podstawienie $ x=y=a $ w (1) prowadzi do $ f(0)+f(0)=0+0 $, a zatem $ f(0)=0 $.

Wstawiamy $ f(0)=0 $ i $ y=0 $ do (1) i otrzymujemy

\[<br /> (2) \qquad<br /> f(f(x))=f(x).<br /> \]

Załóżmy, że $ f $ nie jest funkcją zerową, tzn. istnieje liczba $ c\neq0 $, dla której $ f(x)=c $. Wtedy, ze względu na (2), $ f(c)=c $. Wstawiając $ x=c $ do (1) otrzymujemy $ f(cf(y))+f(c+f(y))=cy+f(c+f(y)) $, a stąd $ f(cf(y))=cy $. Ostatnia równość i (2) prowadzi do

\[<br /> cy=f(cf(y))=f(f(cf(y)))=f(cy).<br /> \]

Powyższa równość jest prawdziwa dla dowolnego $ y\in\mathbb R $, więc możemy ją zapisać jako $ f(x)=x $ dla wszystkich $ x\in\mathbb R $.

Wykazaliśmy zatem, że jeśli $ f $ spełnia (1), to $ f $ jest funkcją zerową lub funkcją identycznościową. Nietrudno sprawdzić, że obie te funkcje spełniają warunki zadania.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź