III MEMO - Zadanie 5

Dane są liczby rzeczywiste $ x $, $ y $, $ z $, spełniające zależność $ x^2+y^2+z^2+9 = 4(x+y+z) $. Dowieść, że

\[<br /> (1) \qquad<br /> x^4+y^4+z^4+16(x^2+y^2+z^2)\geq8(x^3+y^3+z^3)+27<br /> \]

oraz rozstrzygnąć, kiedy zachodzi równość.

Rozwiązanie

Sposób I

Na mocy założenia, po dodaniu $ 6(x^2+y^2+z^2+9) $ do lewej strony, zaś $ 24(x+y+z) $ do prawej strony nierówności (1), otrzymujemy równoważną nierówność

\[<br /> x^4+y^4+z^4+22(x^2+y^2+z^2)+27\geq8(x^3+y^3+z^3)+24(x+y+z).<br /> \]

Nietrudno sprawdzić, że jest ona równoważna

\[<br /> (2) \qquad<br /> (x-1)^2(x-3)^2+(y-1)^2(y-3)^2+(z-1)^2(z-3)^2\geq0,<br /> \]

co jest oczywiście prawdą. Tym samym dowiedliśmy (1).

Równość w (2) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ x,y,x\in\{1,3\} $.

Sposób II

Przy założeniu $ x^2+y^2+z^2+9=4(x+y+z) $ można po prostych przekształceniach zapisać nierówności (1) równoważnie jako

\[<br /> (3) \qquad<br /> (x-2)^4+(y-2)^4+(z-2)^4\geq3,<br /> \]

zaś samo założenie jako

\[<br /> (4) \qquad<br /> (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=3.<br /> \]

Korzystając z nierówności między średnią kwadratową a średnia arytmetyczną dla liczb $ a=(x-2)^2 $, $ b=(y-2)^2 $, $ c=(z-2)^2 $, otrzymujemy

\[<br /> \begin{split}<br /> \sqrt[3]{\frac{(x-2)^4+(y-2)^4+(z-2)^4}3}=\sqrt[3]{\frac{a^2+b^2+c^2}3}\geq\\<br /> \geq\frac{a+b+c}3=\frac{(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2}3,<br /> \end{split}<br /> \]

a stąd i z (4) otrzymujemy tezę (3).

Wiadomo, że w powyższej nierówności między średnimi równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ a=b=c $, więc równość otrzymujemy tylko gdy $ (x-2)^2=(y-2)^2=(z-2)^2 $. Zatem w (1) równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ |x-2|=|y-2|=|z-2|=1 $, lub równoważnie $ x,y,x\in\{1,3\} $.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź