III MEMO - Zadanie 10

Czworokąt $ ABCD $ wpisany jest w okrąg, przy czym $ CD=DA $. Na odcinkach $ AB $ i $ BC $ wybrano punkty odpowiednio $ E $ i $ F $, dla których $ \measuredangle ADC=2\measuredangle EDF $. Odcinek $ DK $ jest wysokością trójkąta $ DEF $, zaś $ DM $ jego środkową. Punkt $ L $ jest symetryczny do $ K $ względem $ M $. Wykazać, że proste $ DM $ oraz $ BL $ są równoległe.

Rozwiązanie

Niech $ N $ będzie obrazem punktu $ A $ w symetrii względem prostej $ DE $. Wtedy

\[<br /> \measuredangle CDN=\measuredangle CDA-\measuredangle ADN=2\measuredangle EDF-2\measuredangle EDN=2\measuredangle FDN<br /> \]

i $ ND=AD=CD $, więc $ N $ jest również obrazem punktu $ C $ w symetrii względem prostej $ DF $. Stąd otrzymujemy następujące pary trójkątów przystających: $ \triangle ADE\equiv\triangle NDE $ oraz $ \triangle CDF\equiv\triangle NDF $. W konsekwencji

\[<br /> \measuredangle END+\measuredangle DNF=\measuredangle EAD+\measuredangle DCF=\measuredangle BAD+\measuredangle DCB=180^\circ,<br /> \]

i wnioskujemy, że $ N $ należy do odcinka $ EF $.

Niech $ d(X,YZ) $ oznacza odległość punktu $ X $ od prostej $ YZ $. Wówczas

\[<br /> \begin{split}<br /> d(D,BE)&=d(D,AE)=d(D,NE)=d(D,FE)=\\<br /> &=d(D,FN)=d(D,FC)=d(D,FB),<br /> \end{split}<br /> \]

przy czym ostatnie dwie równości wynikają z przystawania odpowiednich trójkątów.

Zatem punkt $ D $ znajduje się w takiej samej odległości od wszystkich trzech prostych zawierających boki trójkąta $ BEF $, jest więc środkiem okręgu dopisanego do trójkąta $ BEF $. Okrąg ten jest styczny do $ EF $ w punkcie $ K $. Z własności okręgu wpisanego i dopisanego, okrąg wpisany w trójkąt $ BEF $ jest styczny do $ EF $ w punkcie $ L $.

Oznaczmy przez $ P $ odbicie symetryczne punktu $ K $ względem $ D $. Istnieje jednokładność o środku $ B $, w której obrazem okręgu wpisanego w trójkąt $ BEF $ jest okrąg dopisany, więc punkty $ B $, $ L $, $ P $ są współliniowe. Aby zakończyć dowód, wystarczy zauważyć, że $ DM\|PL $, a jest to prosty wniosek z twierdzenia Talesa ($ KL/KM=2=KP/DP $).

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź