Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

XLVIII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

$ \left\{ \begin{split} &x \cdot |x|+y \cdot |y| =1,\\ &[x] + [y] =1. \end{split} \right. $

Uwaga: $[t]$ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $t$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby $x$ , $y$ spełniają dany układ równań.

Weźmy najpierw pod uwagę przypadek, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest ujemna; przypuśćmy na przykład, że $y < 0$ . Wówczas $[y] \leq -1$ , i w takim razie na mocy drugiego równania układu zachodzi nierówność

$ [x]=1-[y] \geq 2. $

Wobec tego $x \geq 2$ .

Skoro $x$ jest liczbą dodatnią, a $y$ jest liczbą ujemną, pierwsze równanie układu przybiera w tym przypadku postać

$ \qquad (1) x^2-y^2=1. $

Z nierówności $x \geq 2$ , $y < 0$ wynika ponadto, że $x - y > 2$ .

Oczywiście $x + y \geq [x] + [y] = 1$ . Zatem

$ x^2-y^2=(x + y)(x-y)>2. $

Otrzymaliśmy sprzeczność z równaniem (1). Jest ona wynikiem przypuszczenia, że któraś z liczb $x$ , $y$ jest ujemna. Ten przypadek zajść więc nie może.

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy liczby $x$ i $y$ są obie nieujemne. Pierwsze równanie układu teraz ma postać

$ x^2 + y^2 = 1; $

zatem $x,y \in \langle 0,\ 1 \rangle$ i z drugiego równania wynika, że jedna z liczb $[x]$ , $[y]$ musi być równa $1$ , a druga $0$ . Stąd łatwy wniosek, że