XLVII OM - I - Zadanie 8

Ze środka kwadratu wybiega promień świetlny, który odbija się od boków kwadratu zgodnie z zasadą kąt padania jest równy kątowi odbicia. Po pewnym czasie promień wraca do środka kwadratu. Promień nigdy nie trafił w wierzchołek, ani nie przeszedł wcześniej przez środek. Dowieść, że liczba odbić od boków kwadratu jest nieparzysta.

Rozwiązanie

Na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych prowadzimy wszystkie proste o równaniach ( całkowite) oraz ( całkowite); w ten sposób cała płaszczyzna zostaje pokryta nieskończoną siatką kwadratów jednostkowych. W każdej parze kwadratów o wspólnym boku identyfikujemy punkty symetryczne względem tego boku (rysunek 5). Tak więc, na przykład, punkt w kwadracie o wierzchołkach , , , jest utożsamiony z punktami oraz w kwadratach jednostkowych przyległych do od prawej strony i od góry, a także z dwoma punktami w dwóch kwadratach jednostkowych przyległych do od lewej strony i od dołu.

Poprzez symetrie względem dalszych prostych siatki, punkt ten ma swoje repliki we wszystkich kwadratach siatki - po jednej w każdym kwadracie jednostkowym. Środek kwadratu , czyli punkt , jak każdy inny, ma nieskończenie wiele kopii; są nimi środki wszystkich kwadratów siatki, czyli punkty postaci , gdzie mogą być dowolnymi liczbami całkowitymi.

Możemy zakładać, że jest tym kwadratem, którego dotyczy zadanie, oraz że promień świetlny został wysłany z punktu ,,w prawo w górę'' (wzdłuż odcinka prostej o dodatnim współczynniku kierunkowym). Pierwszy raz odbija się więc od boku lub , w pewnym punkcie . Następny raz trafia w brzeg kwadratu w pewnym punkcie .

Fragment jego trajektorii ma swoją kopię w kwadracie przyległym do (przy boku lub ), która jest prostoliniowym przedłużeniem odcinka ; prostoliniowość wynika z zasady odbicia. Istotnie: w sytuacji jak na rysunku, punkt jest symetryczny do względem prostej , wobec czego ; a skoro także (zasada odbicia), zatem punkt leży na półprostej .

Analogicznie, następny fragment drogi promienia ma w kolejnym kwadracie siatki swój obraz, będący przedłużeniem odcinka . I tak dalej: każdy kolejny fragment drogi można identyfikować z coraz to dalszym odcinkiem półprostej . W ten sposób cała trajektoria promienia, od startu z punktu do powrotu do punktu , odpowiada pewnej prostoliniowej drodze na płaszczyźnie, o początku w punkcie i końcu w pewnym punkcie , który jest jedną z replik środka kwadratu . Tak więc jest punktem postaci dla pewnej pary liczb naturalnych .

Na odcinku leży w szczególności punkt , środek tego odcinka. Jeśli obie liczby są parzyste, to jest środkiem pewnego kwadratu siatki, czyli obrazem środka kwadratu . Jeśli obie liczby są nieparzyste, to jest punktem o współrzędnych całkowitych, czyli obrazem wierzchołka kwadratu . Każda z tych sytuacji jest wykluczona przez warunki zadania. Zatem liczby i są różnej parzystości, a więc ich suma jest liczbą nieparzystą.

Zauważmy jednak, że odcinek przecina prostych pionowych oraz prostych poziomych, będących liniami siatki. Każdy taki punkt przecięcia odpowiada punktowi odbicia promienia od brzegu kwadratu . Jest to odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna, bowiem odcinek nie przechodzi przez żaden węzeł siatki (,,promień nie trafił w wierzchołek kwadratu''). Stąd wniosek, że liczba odbić jest równa sumie ; suma ta zaś - jak wykazaliśmy - jest liczbą nieparzystą. Teza jest więc udowodniona.