XLV OM - II - Zadanie 4

Każdemu wierzchołkowi sześcianu przyporządkowano liczbę lub , a każdej ścianie - iloczyn liczb przyporządkowanych wierzchołkom tej ściany. Wyznaczyć zbiór wartości, które może przyjąć suma liczb przyporządkowanych ścianom i wierzchołkom.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę dowolne przyporządkowanie liczb i wierzchołkom sześcianu; oznaczmy sumę tych liczb przez . Ścianom przyporządkujmy liczby w sposób wyznaczony zgodnie z zadaną regułą; oznaczmy sumę tych liczb przez . Suma wszystkich rozważanych liczb równa się .

Dokonajmy zmiany liczby przy jednym wierzchołku (obojętne którym). Spowoduje ona zmianę liczb przyporządkowanych trzem ścianom. Wartość sumy zwiększy się o lub zmniejszy się o . Wartość sumy zwiększy się lub zmniejszy się o lub o . Łączna suma zwiększy lub zmniejszy swą wartość o lub o , lub pozostanie niezmieniona.

Jeżeli wszystkim wierzchołkom są przyporządkowane jedynki, to także wszystkim ścianom są przyporządkowane jedynki, i wówczas . (Jest to oczywiście maksymalna możliwa wartość sumy .) Z tej konfiguracji można osiągnąć każdą inną, zmieniając kolejno po jednej liczbie przy wierzchołkach. Zgodnie z poprzednim spostrzeżeniem, w każdym kroku tej procedury badana suma zmieni swą wartość o , lub . A zatem wartości przyjmowane przez sumę będą się różniły od wyjściowej wartości o wielokrotności liczby . Zbiór możliwych do uzyskania wartości jest więc podzbiorem zbioru .

Liczbę możemy wyeliminować od razu: musielibyśmy mieć ,,minus jedynki'' przy wszystkich wierzchołkach i wszystkich ścianach - ale to jest sprzeczne z warunkami zadania.

Nie da się również uzyskać wartości . Wymagałoby to bowiem, aby jedynek pojawiło się ze znakiem ,,plus'', a dwie ze znakiem ,,minus''. Gdyby przy wierzchołkach były same ,,plus jedynki'', to i przy ścianach byłyby same ,,plus jedynki''. Gdyby dokładnie jeden wierzchołek był opatrzony znakiem ,,minus'', wówczas {\it trzy} ściany otrzymałyby znak ,,minus''. Gdyby wreszcie ,,minusy'' były dokładnie przy dwóch wierzchołkach, wówczas także przy pewnych ścianach pojawiłyby się ,,minusy''. A więc konfiguracja ,,10 plusów, 2 minusy'' nie jest w żaden sposób osiągalna.

Zakres możliwych wartości został zatem ograniczony do zbioru

Z tych sześciu wartości każdą już da się uzyskać, na ogół różnymi sposobami. Oto przykłady konfiguracji realizujących te wartości:

Jeżeli wszystkim wierzchołkom sześcianu przyporządkowano liczbę , to , i .

Jeżeli wszystkim wierzchołkom sześcianu przyporządkowano liczbę , to , i .

Jeżeli jednemu wierzchołkowi przyporządkowano liczbę , a pozostałym , to , i .

Jeżeli jednemu wierzchołkowi przyporządkowano liczbę , a pozostałym , to , i .

Jeżeli dwóm przeciwległym wierzchołkom sześcianu przyporządkowano liczbę , a pozostałym , to , i .

Jeżeli dwóm przeciwległym wierzchołkom jednej ściany przyporządkowano liczbę , a pozostałym wierzchołkom sześcianu liczbę , to , i .