LX OM - III - Zadanie 5

Sfera wpisana w czworościan jest styczna do jego ścian odpowiednio w punktach
. Odcinek jest średnicą tej sfery, zaś punkty są punktami przecięcia prostych
z płaszczyzną . Wykazać, że jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie .

Rozwiązanie

Sposób I.

Niech będzie sferą wpisaną w czworościan i niech będzie środkiem tej sfery.
Ponieważ punkty i są współliniowe oraz , więc istnieje jednokładność o środku
przekształcająca punkt na punkt . Niech i niech będzie taką
płaszczyzną, że jej obrazem w jednokładności jest płaszczyzna . Wówczas płaszczyzny
i są równoległe, a ponadto . Skoro jest średnicą sfery i płaszczyzna
jest styczna do tej sfery w punkcie , to płaszczyzna jest do niej styczna w punkcie .
Zatem jest styczna do sfery w punkcie .

Rozważmy przekrój czworościanu , płaszczyzny oraz sfer i płaszczyzną
(rys. 1.).

Niech będzie punktem przecięcia prostej i płaszczyzny . Niech ponadto .
Wówczas jest punktem styczności prostej i sfery , zatem , czyli trójkąt
jest trójkątem równoramiennym. Zauważmy, że proste i są równoległe, gdyż pierwsza z nich
jest obrazem drugiej w jednokładności . Wynika stąd, że trójkąty oraz są podobne,
czyli trójkąt również jest równoramienny. Zachodzą równości:

gdzie k jest skalą jednokładności . W podobny sposób pokazujemy, że
oraz . Ponieważ proste , oraz są styczne
do sfery odpowiednio w punktach , oraz , więc . Zatem
, czyli jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie .

Sposób II.

Wystarczy wykazać, że proste są symetralnymi boków zawartego w płaszczyźnie
trójkąta . Ponieważ dla wszystkich trzech prostych rozumowanie jest identyczne, ograniczymy się
do pokazania, że prosta . jest symetralną boku . Dokonamy tego, wskazując na prostej
dwa różne punkty równoodległe od punktów i . Jednym z nich jest punkt , a drugim rzut punktu
na płaszczyznę w kierunku równoległym do prostej .

Niech będzie środkiem sfery wpisanej w czworościan . Ponieważ proste i są styczne do
tej sfery odpowiednio w punktach oraz , więc . Wynika to z przystawania trójkątów prostokątnych
i . Niech będzie rzutem prostokątnym punktu na płaszczyznę (rys. 2.). Płaszczyzna
ta jest prostopadła do płaszczyzny , a ich przecięciem jest prosta . Wynika stąd, że punkt
leży na prostej . Trójkąty prostokątne i mają wspólną przyprostokątną i równe
przeciwprostokątne. Są zatem przystające i . Punkt leży na prostej . zawierającej
przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego i jest równoodległy od dwóch jego wierzchołków: i .
Jest więc środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, czyli środkiem jego przeciwprostokątnej .
Punkt jest także spodkiem wysokości trójkąta opuszczonej z wierzchołka . Skoro wysokość
ta połowi jego bok , to trójkąt ten jest równoramienny, czyli . Analogicznie pokazujemy, że
. Wynika stąd, że , co oznacza, że punkt leży na symetralnej odcinka .

Niech będzie płaszczyzną zawierającą punkt i równoległą do płaszczyzny . Płaszczyzna
(a więc także i płaszczyzna ) jest prostopadła do prostej , gdyż jest w punkcie styczna
do sfery, której środkiem jest punkt . Wynika stąd, że płaszczyzny i są prostopadłe, gdyż
ta ostatnia zawiera prostą . Niech będzie rzutem punktu na płaszczyznę w kierunku
równoległym do prostej , czyli takim punktem płaszczyzny , że . Ponieważ punkt nie leży
na prostej , więc . Punkt leży na płaszczyznach oraz , więc leży na będącej
ich przecięciem prostej . Punkt leży także na płaszczyźnie . Niech będzie rzutem
prostokątnym punktu na płaszczyznę (rys. 3.). Ponieważ leży na płaszczyźnie , która jest
prostopadła do płaszczyzny , więc należy do przecięcia tych płaszczyzn, czyli do prostej .
Z prostopadłości płaszczyzn i wynika z kolei, że skoro , to również
. Trójkąt jest trójkątem równoramiennym, gdyż jego boki i są promieniami
tej samej sfery. Proste zawierające boki trójkąta są prostopadłe do prostych zawierających boki
trójkąta : Prosta jest prostopadła do płaszczyzny , a więc również do zawartej w niej prostej
. Prosta jest prostopadła do prostej , a prosta jest prostopadła do prostej ,
gdyż ta ostatnia zawarta jest w płaszczyźnie , a jak wcześniej zauważyliśmy, płaszczyzna
jest prostopadła do prostej . Wynika stąd, że trójkąty i są podobne, w szczególności
trójkąt jest równoramienny i . Trójkąty prostokątne i są przystające, bo mają
wspólną przyprostokątną oraz . Mają więc równe przeciwprostokątne, czyli .
Analogicznie pokazujemy, że . Wynika stąd, że , co oznacza, że punkt leży na
symetralnej odcinka .

Wskazaliśmy dwa różne punkty leżące na prostej i równoodległe od punktów i .
Zatem prosta jest położoną w płaszczyźnie symetralną boku trójkąta .
Analogiczne rozumowanie pokazuje, że symetralnymi dwóch pozostałych boków tego trójkąta są proste
i . Punkt jest więc środkiem okręgu opisanego na trójkącie .

i . Punkt jest więc środkiem okręgu opisanego na trójkącie Q'R'S'.