XLIV OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że wielomian $x^n + 4$ jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą podzielną przez $4$ .

Rozwiązanie

\spos{I} Załóżmy, że wielomian $x^4 + 4$ jest iloczynem dwóch wielomianów,

$ (1) \qquad x^n + 4 = F(x)G(x), $

o rozważanych własnościach:

$ F(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_kx^k, \quad G(x) = b_0 + b_1x + \ldots + b_mx^m; $

$ a_i, b_j \textrm{ całkowite;} \quad 0<k<n, \quad 0 < m < n, \quad k + m = n. $

W iloczynie $F(x)G(x)$ współczynnik przy $x^n$ wynosi $a_kb_m$ , a wyraz wolny równa się $a_0b_0$ . Zachodzą więc równości

$ a_0b_0 = 4 \quad \textrm{oraz} \quad a_kb_m = 1. $

Liczby $a_k$ , $b_m$ są całkowite; tak więc $a_k = b_m = 1$ lub $a_k = b_m = -1$ . Przyjmijmy dodatkowo:

$ (2) \qquad a_i=0 \quad \textrm{dla } i>k, \quad b_j = 0 \quad \textrm{dla } j>m. $

Niech $\alpha$ będzie najmniejszym numerem takim, że $a_\alpha$ jest liczbą nieparzystą i niech $\beta$ będzie najmniejszym numerem takim, że $b_\beta$ jest liczbą nieparzystą. Skoro $a_k = b_m = \pm 1$ , zatem $\alpha \leq k$ , $\beta \leq m$ . Współczynnik przy $x^{\alpha+\beta}$ w iloczynie $F(x)G(x)$ równa się

$ (3) \qquad a_{\alpha+\beta}b_0 + a_{\alpha+\beta-1}b_1 + \ldots + a_{\alpha}b_{\beta} + \ldots + a_1b_{\alpha+\beta-1} + a_0b_{\alpha+\beta} $

(dzięki przyjętemu określeniu (2), wszystkie symbole mają sens także wtedy, gdy $\alpha+ \beta$ przekracza $k$ lub $m$ ). W sumie (3) składnik $a_\alpha b_\beta$ jest liczbą nieparzystą; każdy z pozostałych składników jest liczbą parzystą (bowiem jest iloczynem postaci $a_ib_j$ , gdzie $i < \alpha$ lub $j < \beta$ , więc co najmniej jeden z czynników $a_i$ , $b_j$ jest parzysty). Wobec tego cała suma (3) jest nieparzysta.

W wielomianie (1) jedynie $x^n$ występuje ze współczynnikiem nieparzystym. Stąd $\alpha + \beta = n$ , czyli muszą zachodzić równości $\alpha = k$ oraz $\beta = m$ . Zgodnie z określeniem numerów $\alpha$ i $\beta$ otrzymujemy wniosek:

$ (4) \qquad a_0,a_1,\ldots,a_{k-1}, b_0,b_1,\ldots,b_{m-1} \quad \textrm{są liczbami parzystymi.} $

Ponieważ $a_0b_0 = 4,$ zatem $a_0 = b_0 = 2$ lub $a_0 = b_0 = - 2$ .

Wykażemy, że $k = m$ . Przypuśćmy, że $k \neq m$ ; niech na przykład $k<m$ (takie zawężenie przypuszczenia nie zmniejsza ogólności rozważań, z uwagi na symetrię ról $k$ i $m$ ). Iloczyn wielomianów $F(x)$ i $G(x)$ zapisujemy w postaci

$ (5) \qquad F(x)G(x) = P(x) + Q(x) + x^n, $

gdzie

$ \begin{split} \begin{split} P(x) &= (a_0+a_1x + \ldots + a_{k-1}x^{k-1})(b_0 + b_1x + \ldots + b_{m-1}x^{m-1}),\\ Q(x) &= (a_kb_0x^k + a_kb_1x^{k+1} + \ldots + a_kb_{m-1}x^{n-1}) + \end{split}\\ + (b_ma_0x^m + b_ma_1 x^{m+1} + \ldots + b_ma_{k-1}x^{n-1}). \end{split} $

Wobec własności (4), wszystkie współczynniki wielomianu $P(x)$ są podzielne przez $4$ . Współczynnik przy $x^k$ w wielomianie $Q(x)$ równa się $a_kb_0$ . Wcześniej stwierdziliśmy, że $a_k = \pm 1$ oraz $b_0 = \pm 2$ . W takim razie współczynnik przy $x^k$ w wielomianie $P(x) + Q(x)$ jest liczbą parzystą niepodzielną przez $4$ . Jest to sprzeczność, bowiem w myśl równości (1) i (5) suma $P(x) + Q(x)$ jest wielomianem o stałej wartości $4$ .

Ta sprzeczność dowodzi, że $k = m$ ; zatem $n = k + m = 2k$ , i w konsekwencji

$ (6) \qquad F(x)G(x) = x^{2k} + 4 > 0 \quad \textrm{dla wszystkich } x \in \mathbb{R}. $

Stąd zaś wynika, że żaden z wielomianów $F(x)$ , $G(x)$ nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc musi być stopnia parzystego. To znaczy, że $k$ jest liczbą parzystą, czyli $n$ jest liczbą podzielną przez $4$ .

Na odwrót, jeśli $n = 4l$ , $l \in N$ , to żądany rozkład istnieje i ma postać