XLIV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że dla liczb dodatnich $ x $, $ y $, $ u $, $ v $ zachodzi nierówność

\[<br /> \frac{xy+xv+uy+uv}{x+y+u+v} \geq \frac{xy}{x+y} + \frac{uv}{u+v}<br /> \]

Rozwiązanie

Mnożąc stronami przez iloczyn wszystkich mianowników przekształcamy daną nierówność do postaci równoważnej

\[<br /> \begin{split}<br /> (1) \qquad (xy + xv + uy + uv)&(x + y)(u + v) \geq\\<br /> &\geq (x+ y + u + v) [xy(u + v) + (x + y)uv].<br /> \end{split}<br /> \]

Oznaczmy lewą i prawą stronę (1) odpowiednio przez $ L $ i $ P $ oraz przyjmijmy

\[<br /> z = x + y, \quad w=u + v, \quad p=xy, \quad q = uv.<br /> \]

Wówczas

\[<br /> L = (p+q + xv+yu)zw = pzw + qzw + xvzw + yuzw,<br /> \]
\[<br /> P = (z + w)(pw + qz) = pzw + qzw + pw^2 +qz^2,<br /> \]

skąd

\[<br /> \begin{split}<br /> L - P &= xv zw + yuzw - pw^2 - qz^2 =\\<br /> &= xvzw + yuzw - xyw^2 - uvz^2 = (vz - yw)(xw - uz).<br /> \end{split}<br /> \]

Zauważmy teraz, że

\[<br /> vz - yw = v(x + y) - y(u + v) = xv - yu<br /> \]

oraz

\[<br /> xw - uz = x(u + v) - u(x + y) = xv - yu.<br /> \]

Zatem, ostatecznie,

\[<br /> L-P = (xv-yu)^2 \geq 0.<br /> \]

Nierówność (1), równoważna nierówności danej w zadaniu, została w ten sposób wykazana.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

by Gość - 01/13/2011 - 23:17

inny sposób

jako że rozwiązanie to i tak jest długie to proponuję prawą stronę nierówności sprowadzić do wspólnego mianownika, następnie nierówność wymnożyć na krzyż (liczby dodatnie) i po redukcji pozostanie nam pokazanie nierówności:
x^2*v^2+y^2*u^2>=2xyuv , która jest banalna w dowodzie

Dodaj nową odpowiedź