Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

XLIV OM - II - Zadanie 5

Na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ trójkąta $ABC$ obrano odpowiednio takie punkty $D$ , $E$ i $F$ , że okręgi wpisane w trójkąty $AEF4$ , $BFD$ i $CDE$ mają promienie równe $r_1$ . Okręgi wpisane w trójkąty $DEF$ i $ABC$ mają odpowiednio promienie $r_2$ i $r$ . Wykazać, że $r_1+r_2=r$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $P$ , $Q$ , $R$ punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ odpowiednio z bokami $BC$ , $CA$ , $AB$ , a przez $K$ - punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt $EAF$ z bokiem $AF$ . Środki tych okręgów oznaczmy odpowiednio przez $I$ oraz $J$ (rysunek 8).

Układ równań

$ |BP| + |CQ| = |BP| + |PC| = |BC|, $

$ |CQ| + |AR| = |CQ| + |QA| = |CA|, $

$ |AR| + |BP| =|AR| + |RB| = |AB| $

pozwala wyrazić $|AR|$ , $|BP|$ , $|CQ|$ przez $|BC|$ , $|CA|$ , $|AB|$ ; w szczególności

$ |AR| = \frac{1}{2}(|CA| + |AB|-|BC|). $

Rozważając trójkąt $EAF$ mamy analogicznie

$ |AK| = \frac{1}{2}(|EA| + |AF|-|FE|). $

Trójkąty $ARI$ oraz $AKJ$ są podobne w skali $r:r_1$ . W takim razie $r \cdot |AK| = r_1 \cdot |AR|$ i na mocy poprzednich równości

$ r(|EA| + |AF|-|FE|) = r_1(|CA| + |AB|-|BC|). $

Analogicznie

$ r(|FB| + |BD|-|DF|) = r_1(|AB| + |BC|-|CA|), $

$ r(|DC| + |CE|-|ED|) = r_1 (|BC| + |CA|-|AB|). $

Dodajemy stronami trzy ostatnie równości i otrzymujemy związek

$ r \cdot (\textrm{obwód}(ABC) - \textrm{obwód}(DEF)) = r_1 \cdot \textrm{obwód}(ABC). $

Oznaczając połowę obwodu trójkąta $ABC$ przez $p$ , a połowę obwodu trójkąta $DEF$ przez $q$ , przepisujemy ten związek w postaci

$ (1) \qquad (r - r_1)p = rq. $

Pole trójkąta jest iloczynem połowy obwodu przez długość promienia koła wpisanego. Zachodzą więc związki:

$ (2) \qquad \begin{split} &\mathrm{pole}(EAF) = \frac{1}{2}r_1 (|EA| + |AF| + |FE|),\\ &\mathrm{pole}(FBD) = \frac{1}{2}r_1 (|FB| + |BD| + |DF|),\\ &\mathrm{pole}(DCE) = \frac{1}{2}r_1 (|DC| + |CE| + |ED|) \end{split} $

oraz

$ \mathrm{pole}(ABC) = rp, \quad \mathrm{pole}(DEF) = r_2q. $

Trzy trójkąty figurujące we wzorach (2) mają wnętrza parami rozłączne i wypełniają trójkąt $ABC$ z usuniętym trójkątem $DEF$ . Suma ich pól jest więc równa różnicy pól trójkątów $ABC$ i $DEF$ , czyli różnicy $rp-r_2q$ . Zatem dodając stronami równości (2) otrzymujemy zależność