XLII OM - I - Zadanie 3

Liczby rzeczywiste $ a $, $ x $, $ y $, $ z $ spełniają równość

\[<br /> \frac{\cos x + \cos y + \cos z}{\cos(x+y+z)} = \frac{\sin x + \sin y + \sin z}{\sin(x+y+z)} = a<br /> \]

Wykazać, że

\[<br /> \cos(y+z)+\cos(z+x)+\cos(x+y) = a<br /> \]

Rozwiązanie

Piszmy dla wygody $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $ zamiast $ x $, $ y $, $ z $; przyjmijmy $ x_4 = x_1 $ oraz $ w = x_1+x_2+x_3 $. Założenie przybiera postać:

\[<br /> \sum_{j=1}^3 \cos x_j = a \cos w, \quad \sum_{j=1}^3 \sin x_j = a \sin w.<br /> \]

Stąd

\[<br /> \begin{split}<br /> \cos (y+z) + \cos (z+x) +\cos (x+y) & = \sum_{j=1}^3 \cos (x_j + x_{j+1}) = \sum_{j=1}^3 \cos (w-x_j) = \\<br /> & = \sum_{j=1}^3 (\cos w \cos x_j + \sin w \sin x_j) = \\<br /> & (\cos w) \sum_{j=1}^3 \cos x_j + (\sin w) \sum_{j=1}^3 \sin x_j = \\<br /> & = a \cos^2 w + a \sin^2 w = a.<br /> \end{split}<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź