Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

XLI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ spełniona jest równość

$ (x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y) = 4xy(x^2-y^2) $

Rozwiązanie

Zakładamy, że funkcja $f$ spełnia podane równanie funkcyjne. Wprowadzamy nowe zmienne:

$ (1) \qquad u = x + y, \quad v = x-y. $

Równanie przybiera postać

$ (2) \qquad vf(u)-uf(v) = uv(u^2-v^2). $

(Istotnie: $uv = x^2 - y^2$ ; $u^2 - v^2 = 4xy$ .)

Dla każdej pary liczb rzeczywistych $(u,v)$ istnieje para liczb rzeczywistych $(x,y)$ spełniająca układ równań (1). Zatem jeśli dane w zadaniu równanie jest (dla danej funkcji $f$ ) spełnione przez każdą parę liczb rzeczywistych $(x,y)$ , to równanie (2) jest również spełnione przez każdą parę liczb rzeczywistych $(u,v)$ .

Podstawiając w (2) $u = 1$ , $v = 0$ stwierdzamy, że $f(0) = 0$ .

Niech teraz $u$ , $v$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, różnymi od zera. Dzielimy równanie (2) stronami przez $uv$ :

$ (3) \qquad \frac{f(u)}{u} - \frac{f(v)}{v} = u^2-v^2. $

Weźmy pod uwagę funkcję

$ (4) \qquad g(f) = \frac{f(t)}{t} - t^2 \quad \textrm{dla} \ t \ne 0. $

Otrzymany związek (3) odczytujemy jako równość

$ g(u) = g(v) \ \textrm{dla dowolnych} \ u,v \ne 0. $

Innymi słowy, funkcja $g$ jest stała na zbiorze $\mathbb{R}\ {0}$ . Oznaczmy jej stałą wartość przez $c$ . Mamy wówczas, zgodnie z (4),

$ (5) \qquad f(t) = t^3 + ct $

dla $t \ne 0$ . Wcześniej stwierdziliśmy, że $f(0) = 0$ . Tak więc związek (5) jest aluszny dla wszystkich $t \in \mathbb{R}$ .

Nietrudno sprawdzić, że każda funkcja postaci (5) spełnia tożsamościowe związek (2), a więc także i dane w zadaniu równanie funkcyjne. Zatem wzór (5) określa ogólną postać poszukiwanych funkcji.