LIX OM - I -Zadanie 8

Dany jest ostrosłup czworokątny $ ABCDS $ o podstawie czworokąta wypukłego $ ABCD $. Sfera wpisana w ten
ostrosłup jest styczna do ściany $ ABCD $ w punkcie $ P $. Dowieść, że

\[<br /> \measuredangle APB + \measuredangle CPD = 180^{\circ}.<br /> \]

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy przez $ K, L, M, N $ punkty styczności rozpatrywanej sfery odpowiednio ze ścianami
$ SDA, SAB, SBC, SCD $. Niech ponadto $ K', L', M', N' $ będą odpowiednio punktami przecięcia prostych
$ SK, SL, SM, SN $ z płaszczyzną $ ABCD $.

Z równości $ KS = SL $ oraz $ AK = AL $ wynika, że trójkąty $ AKS $ i $ ALS $ są przystające. A zatem

\[<br /> (1)\qquad \measuredangle AKK' = 180^{\circ} -\measuredangle AKS = 180^{\circ} -\measuredangle ALS = \measuredangle ALL' .<br /> \]

Z kolei z równości $ K'K = K'P $ oraz $ AK = AP $ wynika, że trójkąty $ AKK' $ oraz $ APK $ są przystające.
Wobec tego $ \measuredangle AKK' = \measuredangle APK' $. Analogicznie dowodzimy, że $ \measuredangle ALL' = \measuredangle APL' $.

Łącząc ostatnie dwie równości z zależnością (1) uzyskujemy

\[<br /> \measuredangle APK' = \measuredangle APL' = \alpha.<br /> \]

Rozumując podobnie dostajemy (rys. 2)

\[<br /> \measuredangle BPL' = \measuredangle BPM' = \beta,\quad<br /> \measuredangle CPM' = \measuredangle CPN' = \gamma, \quad<br /> \measuredangle DPN' = \measuredangle DPK' = \delta.<br /> \]

om59_1r_img_2.jpg

Wobec tego

\[<br /> 2\alpha +2\beta +2\gamma +2\delta =<br /> \measuredangle K'PL' +\measuredangle L'PM' +\measuredangle M'PN' +\measuredangle N'PK' = 360^{\circ},<br /> \]

czyli $ \alpha+\beta +\gamma +\delta = 180^{\circ} $. Pozostało zauważyć, że

\[<br /> \measuredangle APB +\measuredangle CPD =(\alpha +\beta )+(\gamma + \delta) = 180^{\circ},<br /> \]

co kończy rozwiązanie zadania.

Sposób II

Poprowadźmy przez punkt $ S $ wszystkie proste, które są styczne do danej sfery $ s $. Proste te wyznaczają
stożek $ t $, w który wpisana jest sfera $ s $. Część wspólna stożka $ t $ oraz płaszczyzny $ ABCD $ jest elipsą
$ e $ wpisaną w czworokąt $ ABCD $, której jednym z ognisk jest punkt $ P $ (zob. Szkoła geometrii. Odczyty
kaliskie — praca zbiorowa, Warszawa 1993).

Oznaczmy przez $ K, L, M, N $ punkty styczności elipsy $ e $ odpowiednio z bokami $ DA, AB, BC, CD $ (rys. 3).
Wówczas (zob. LI Olimpiada Matema­tyczna, Sprawozdanie Komitetu Głównego, Warszawa 2001, Dodatek B, str. 107, twierdzenie 3) otrzymujemy zależności

\[<br /> \measuredangle APK = \measuredangle APL, \quad<br /> \measuredangle BPL = \measuredangle BPM, \quad<br /> \measuredangle CPM = \measuredangle CPN, \quad<br /> \measuredangle DPN = \measuredangle DPK,<br /> \]

om59_1r_img_3.jpg

z których analogicznie jak w sposobie I wynika teza zadania.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź