XL OM - II - Zadanie 6

W trójkącie przez punkt wewnętrzny poprowadzono proste , , przecinające boki , , odpowiednio w punktach , , . Udowodnić, że jeśli w czworokąty i można wpisać koła, to w czworokąt też można wpisać koło.

Rozwiązanie

Przez koło wpisane w czworokąt (wypukły lub wklęsły) będziemy rozumieli koło zawarte w tym czworokącie i styczne do czterech prostych zawierających jego boki. Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia takiego koła jest równość sum długości przeciwległych boków czworokąta. Ten fakt, doskonale znany dla czworokątów wypukłych, mniej powszechnie jest znany dla czworokątów wklęsłych. Wszelako dowód w przypadku czworokąta wklęsłego otrzymuje się przez prostą adaptację zwykłego ,,podręcznikowego'' dowodu dla przypadku czworokąta wypukłego. Podamy go na końcu rozwiązania, w Uwadze.

Teza naszego zadania jest bezpośrednim wnioskiem z podanej własności: założenie zadania oznacza, że istnieją koła wpisane w czworokąty wklęsłe i . Zatem (rysunek 3)

Stąd

a więc istnieje koło wpisane w czworokąt wklęsły - czyli koło wpisane w czworokąt wypukły .

Uwaga. Oto dowód twierdzenia mówiącego, ze w czworokąt wklęsły da się wpisać koło wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe.

Niech będzie czworokątem wklęsłym; zakładamy, że punkt leży wewnątrz trójkąta . Przedłużenia boków i przecinają boki i odpowiednio w punktach i .

Przypuśćmy, żc istnieje koło styczne do prostych zawierających boki czworokąta . Jest to, mówiąc prościej, koło wpisane w czworokąt wypukły . Oznaczmy przez , , , punkty styczności tego koła odpowiednio z bokami , , , (rysunek 4).

Następujące pary odcinków stycznych do rozważanego koła mają równe długości:

oraz

Odejmujemy stronami obie równości (1):

Dodajemy stronami równości (2):

Dodajemy wreszcie stronami otrzymane równości i dostajemy:

czyli równość, którą należało wykazać.

Pozostała do udowodnienia implikacja przeciwna: zakładając, że zachodzi równość (3), mamy dowieść, że w czworokąt wklęsły da się wpisać koło - czyli, że da się wpisać koło w czworokąt wypukły .

Wpisujemy najpierw koło w trójkąt . Prowadzimy z punktu prostą styczną do tego koła (różną od prostej ), przecinającą odcinek w punkcie . Przypuśćmy, że punkt nie pokrywa się z . Niech będzie punktem przecięcia prostych i ; powstaje (niezdegenerowany) trójkąt (rysunek 5 przedstawia dwie możliwe konfiguracje).

Koło jest wpisane w czworokąt wklęsły . Na mocy udowodnionej już części twierdzenia w czworokącie tym spełniona jest równość analogiczna do (3):

Odejmujemy tę równość stronami od (3) i stwierdzamy, że

Lewa strona ostatniej równości to - z dokładnością do znaku - długość odcinka . Uzyskujemy w ten sposób następujący związek między długościami boków trójkąta :

W trójkącie, który nie degeneruje się do odcinka, taka równość zachodzić nie może. Otrzymana sprzeczność jest wynikiem przypuszczenia, że . Zatem punkt musi pokrywać się z . A to znaczy, że koło jest wpisane w czworokąt ; dowód jest zakończony.