Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

XXXVIII OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli funkcja

$ f(x) = c_0+a_1 \cos x + b_1 \sin x + a_2 \sin{2x} + b_2 \sin{2x} $

ma pięć miejsc zerowych w przedziale $(0; 2\pi)$ , to $f(x) = 0$ dla każdego $x$ .

Rozwiązanie

Zgodnie z założeniem, istnieją liczby $x_i \in (0; 2\pi)$ , $i = 1, 2, 3, 4, 5$ , różne między sobą, takie, że $f(x_i) = 0$ .

Zastosujemy podstawienie $t = \ctg(x/2)$ . Gdy $x$ przebiega przedział $(0; 2\pi)$ , $t$ przebiega przedział $(-\infty; \infty)$ , przy czym różnym wartościom $x$ odpowiadają różne wartości $t$ . W szczególności liczby $t = \ctg(x_i/2)$ , $i = 1, 2, 3, 4, 5$ , są wszystkie różne.
Korzystając ze znanych wzorów

$ \begin{split} &\sin x = \frac{2t}{t^2+1}, \quad \cos x =\frac{t^2-1}{t^2+1}\\ & \sin 2x = 2\sin x \cos x = \frac{4t(t^2-1)}{(t^2+1)^2}\\ &\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x =\frac{t^4-6t^2+1}{(t^2+1)^2} \end{split} $

przekształcamy wyrażenie definiujące funkcję $f$ do postaci

$ g(t) = \frac{P(t)}{(t^2+1)^2} $

gdzie $P$ jest wielomianem stopnia co najwyżej czwartego (znajomość jego współczynników nie będzie nam do niczego potrzebna).

Dokładniej, związek między funkcją $f$ (zmiennej $x$ ) i funkcją $g$ (zmiennej $t$ ) jest taki:

$ \left.\begin{array}{r} x\in (0, 2\pi)\\ t=\ctg \frac{x}{2} \end{array}\right| \Longrightarrow f(x)=g(x). $

Skoro $f(x_i) = 0$ , to $g(t_i) = 0$ , więc i $P(t_i) = 0$ dla $i = 1, 2, 3, 4, 5$ . Wielomian stopnia $4$ przyjmujący wartość $0$ w pięciu różnych punktach musi być tożsamościowo równy zeru. Zatem $f(x) = 0$ dla $x\in (0; 2\pi)$ .

Z ciągłości funkcji trygonometrycznych wynika teraz, że $f(x) = 0$ dla $x \in \langle 0; 2 \pi \rangle$ , a z ich okresowości — że $f(x) = 0$ dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$ .