XXXVII OM - II - Zadanie 4

Liczby naturalne $ x, y, z $, których największy wspólny dzielnik jest równy 1, spełniają równanie

\[<br /> \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}<br /> \]

Dowieść, że $ x + y $ jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Równanie przepisujemy w postaci

\[<br /> (1) \qquad (x+y)z = xy.<br /> \]

Niech $ k $ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $ x $ i $ y $: $ k = NWD (x,y) $. Mamy więc

\[<br /> x = km,\ y = kn,\ NWD (m, n) = 1.<br /> \]

Zauważmy, że

\[<br /> (2) \qquad NWD (m + n, mn) = 1,\ NWD (k, z) = 1.<br /> \]

Pierwsza z równości (2) wynika z tego, że $ NWD (m, n) = 1 $ (każdy dzielnik pierwszy iloczynu $ mn $ musi dzielić $ m $ lub $ n $, więc nie może dzielić sumy $ (m + n) $; druga równość (2) jest konsekwencją założenia $ NWD (x, y, z) = 1 $.

Podstawiając $ x = km $, $ y = kn $ do (1) i dzieląc stronami przez $ k $ dostajemy

\[<br /> (m + n)z = kmn,<br /> \]

a stąd, na mocy (2),

\[<br /> m + n = k,\ z = mn.<br /> \]

Ostatecznie więc

\[<br /> x + y = k(m + n) = k^2.<br /> \]
  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź