Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

XXXVI OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że jeśli $(a_n)$ jest takim ciągiem liczb rzeczywistych, że $a_{n+2}=|a_{n+1}|-a_n$ dla $n = 1,2,\ldots$ , to $a_{k+9} = a_k$ dla $k = 1,2,\ldots$ .

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę przekształcenie $F$ płaszczyzny w siebie dane wzorem $F(x,y) = (y,|y|-x)$ . Ustalmy liczbę dodatnią $a$ . Niech $I_0$ będzie odcinkiem o końcach $(0,-a)$ i $(-a,0)$ , niech $I_1$ będzie obrazem odcinka $I_0$ w przekształceniu $F$ i dalej, indukcyjnie, niech $I_n = F(I_{n-1})$ . Odcinek $I_0$ ma przedstawienie parametryczne

$ I_0 : x = -t, \ y = -a+t, \ 0 \leq t \leq a. $

Działając na punkt $(x,y) = (-t, -a+t)$ odwzorowaniem $F$ otrzymujemy

$ F(x,y) = (y,|y|-x) = (-a+t, |-a+t\ + t) = (-a+t, a) $

i wobec tego $I_1$ jest odcinkiem o przedstawieniu parametrycznym

$ I_1: x = -a+t,\ y = a,\ 0 \leq t \leq a. $

W ten sam sposób sprawdzamy, że kolejne zbiory $I_n$ są odcinkami o następujących przedstawieniach parametrycznych ( $t$ jest stale parametrem przebiegającym przedział $\langle 0;a \rangle$ :

$ \begin{split} & I_2 : x = a, y = 2a-t\\ & I_3 : x = 2a-t, y = a-t \\ & I_4 : x = a-t, y = -a\\ & I_5 : x = -a, y = t\\ & I_6 : x = t, y = a+t \\ & I_7 : x = a+t, y = a\\ & I_8 : x = a, y = -t\\ & I_9 : x = -t, = -a+t. \end{split} $

Tak więc $I_9$ pokrywa się z $I_0$ . Suma odcinków $I_0, \ldots, I_8$ tworzy łamaną zamkniętą, którą oznaczymy przez $Ł_a$ . Interpretując parametr $t$ jako czas widzimy, że gdy punkt $P = (x,y)$ przebiega ruchem jednostajnym odcinek $I_n$ w kierunku oznaczonym na rysunku 4 strzałką, to jego obraz $F(P)$ przebiega ruchem jednostajnym odcinek $I_{n+1}$ . Oznacza to, że punkt $F(P)$ dzieli odcinek $I_{n+1}$ w tym samym stosunku, w którym $P$ dzieli $I_n$ . Stąd i z zaobserwowanej cykliczności $(I_9 = I_0)$ wynika, że każdy punkt łamanej $Ł_a$ po zastosowaniu przekształcenia $F^9$ (dziewięciokrotnego złożenia przekształcenia $F$ ) wróci na swoje miejsce.

Wszystkie łamane $Ł_a$ (dla różnych wartości $a$ ) są zbiorami jednokładnymi na płaszczyźnie, a ich suma wypełnia całą płaszczyznę bez punktu $(0,0)$ , który oczywiście jest punktem stałym przekształcenia $F$ . Zatem $F^0$ jest przekształceniem tożsamościowym.