Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

XXXV OM - I - Zadanie 4

Dane są dwa przecinające się okręgi $o(O_1, r_1)$ i $o(O_2, r_2)$ i prosta styczna do nich odpowiednio w punktach $A$ i $B$ . Punkt $C$ jest punktem wspólnym tych okręgów bliższym prostej $AB$ , $R$ jest długością promienia okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , $d = O_1O_2$ Udowodnić, że $\measuredangle ABC = \measuredangle O_1CO_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $d^2 = r_1^2 + r_2^2 + R^2$ .

Rozwiązanie

Z trójkąta równoramiennego $AC0_1$ wyznaczamy

$ \frac{AC}{2r_1} = \cos \measuredangle O_1AC. $

Ponieważ $\measuredangle O_1AB = 90^\circ$ , więc $\cos O_1AC = \sin (90^\circ -O_1AC) = \sin BAC$ . Stosując twierdzenie sinusów do trójkąta $ABC$ otrzymujemy

$ \sin \measuredangle BAC = \frac{|BC|}{2R}, $

więc

$ \frac{|AC|}{2r_1} = \frac{|BC|}{2R}. $

Podobnie

$ \frac{|BC|}{2r_2} = \frac{|AC|}{2R}. $

Z ostatnich dwóch równości wynika, że

$ r_1 r_2 = R^2. $

Obliczając sumę kątów o wierzchołku $C$ otrzymamy $360^\circ = \measuredangle O_1 CO_2 +\measuredangle ACB + (90^\circ - \measuredangle BAC) + (90^\circ- \measuredangle ABC) = \measuredangle O_1C0_2 + \measuredangle ACB+ (180^\circ -(\measuredangle BAC + \measuredangle ABC)) = \measuredangle O_1CO_2 + \measuredangle ACB + \measuredangle ACB$ . Stąd $\measuredangle ACB = 180^\circ -\frac{1}{2} \measuredangle O_1CO_2$ .

Wobec tego równość $\measuredangle ACB = \measuredangle O_1 CO_2$ jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy $\measuredangle ACB = 120^\circ$ , a więc wtedy i tylko wtedy, gdy $\cos \measuredangle ACB = -\frac{1}{2}$ oraz
$0 \leq \measuredangle ACB \leq 180\circ$ . Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy