XXXIII OM - I - Zadanie 8

Dane są liczby naturalne $ l, m, p, q, n $ spełniające warunki: $ \frac{l}{m} < \frac{p}{q} $ i $ m, q $ są względnie pierwsze. Udowodnić równoważność następujących warunków.
(1) Istnieje taka liczba naturalna $ k $, że

\[<br /> \frac{l}{m} < \frac{k}{n} < \frac{p}{q}.<br /> \]

(2) Istnieją takie liczby naturalne $ r, s $, że ,

\[<br /> n=\frac{rm+sq}{pm-lq}<br /> \]

Rozwiązanie

Załóżmy, że spełniony jest warunek (1). Ponieważ zachodzi nierówność $ \frac{l}{m} < \frac{k}{n} $, to $ ln<km $. Mamy przy pewnym naturalnym $ s $ równość $ km =ln+s $. Możemy napisać.

\[<br /> \nr{i} \frac{k}{n} = \frac{km}{mn} = \frac{ln+s}{mn} = \frac{ln}{mn}+\frac{s}{mn} = \frac{l}{m}+\frac{s}{mn}.<br /> \]

Analogicznie z nierówności $ \frac{k}{n} < \frac{p}{q} $ wynika, że $ kq <pn $. Istnieje liczba naturalna $ r $, dla której $ kq = pn - r $. Zachodzą więc nierówności

\[<br /> \nr{ii}<br /> \frac{k}{n} = \frac{kq}{nq} = \frac{pn-r}{nq} = \frac{pn}{nq}-\frac{r}{nq} = \frac{p}{q}-\frac{r}{nq}.<br /> \]

Z równości (i) i (ii) wynika

\[<br /> \frac{ln}{mn}+\frac{s}{mn} = \frac{pn}{nq}-\frac{r}{nq} ,<br /> \]
\[<br /> lnq + sq = pnm - rm,<br /> \]
\[<br /> lnq - pnm = -rm - sq,<br /> \]
\[<br /> n(lq - pm) = -rm - sq,<br /> \]
\[<br /> n = \frac{rm+sq}{pm-lq}.<br /> \]

Wykazaliśmy więc, że spełniony jest warunek (2).

Załóżmy teraz, że istnieją $ r $, $ s $ naturalne, dla których

\[<br /> n = \frac{rm+sq}{pm-lq}.<br /> \]

Szukamy liczby naturalnej $ k $, dla której zachodzi następująca równość

\[<br /> \frac{k}{n} = \frac{ln}{mn} + \frac{s}{mn}<br /> \]

(z powyższych rachunków wynika, że wtedy będzie również $ \frac{k}{n} = \frac{pn}{qn} - \frac{r}{qn} $).

Dla liczby $ k $ musi zachodzić równość

\[<br /> k = \frac{ln}{m} + \frac{s}{m}.<br /> \]

Stąd otrzymujemy

\[<br /> k = \frac{\frac{rm+sq}{pm-lq}l+s}{m},<br /> \]
\[<br /> k = \frac{rml+sql+spm-slq}{m(pm-lq)},<br /> \]
\[<br /> k = \frac{rl+sp}{pm-lq}.<br /> \]

Wystarczy wykazać, że liczba $ k $ określona tym wzorem jest liczbą całkowitą.

Ponieważ $ n = \frac{rm+sq}{pm-lq} $ jest liczbą całkowitą, więc

\[<br /> pm - lq \mid rm + sq.<br /> \]

Wobec tego, jeśli $ t $ jest liczbą pierwszą i

\[<br /> t^a \mid pm - lq,\ \textrm{to} \ t^a \mid rm + sq.<br /> \]

Mamy dla odpowiednich $ a $, $ b $ równości

\[<br /> (*) \qquad pm - lq = at^a,\ rm + sq = bt^a.<br /> \]

Otrzymamy następujące wyrażenia odejmując od pierwszego z równań (*) pomnożonego przez $ r $ drugie pomnożone przez $ p $:

\[<br /> rpm - rlg - prm - psq = rat^a - pbt^a,<br /> \]
\[<br /> -rlq - psq = rat^a - pbt^a,<br /> \]
\[<br /> (sp + rl)q = (pb - ra)t^a.<br /> \]

Stąd wynika, że $ t^a \mid (sp + rl)q $.

Gdyby było $ t \mid q $, to z równań (*) wynikałoby, że $ t \mid m $. Prowadzi to do sprzeczności z założeniem, że liczby $ q $, $ m $ są względnie pierwsze. Wobec tego $ t^a\mid sp + rl $. Zatem istotnie każdy dzielnik pierwszy mianownika ułamka $ \displaystyle \frac{rl+sp}{pm-lq} $ dzieli licznik tego ułamka w co najmniej takiej potędze, w jakiej dzieli mianownik. Wynika stąd, że $ \displaystyle k =\frac{rl+sp}{pm-lq} $ jest liczbą całkowitą.

  • Wersja do wydrukuWersja do wydruku
  • Podziel się / Zapisz

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź