Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

XXXIII OM - I - Zadanie 11

Liczby rzeczywiste $u, v, w$ są pierwiastkami równania $x^3 + qx + r = 0$ , gdzie $r \neq 0$ . Wyrazić pierwiastki równania $r^2x^3 + q^3x + q^3 = 0$ w zależności od $u, v, w$ i wykazać, że nie ma ono pierwiastków w przedziale $(-1, 3)$ .

Rozwiązanie

Na podstawie wzorów Viete'a jest

$ u + v + w = 0, $

$ uv + uw + vw = q, $

$ uvw = -r. $

Przypuśćmy, że pierwiastkami równania $r^2x^3 + q^3x + q^3 = 0$ są liczby
$x_1 = \frac{q}{r}a$ , $x_2 = \frac{q}{r}b$ , $x_3 = \frac{q}{r}c$ . Wobec tego

$ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{q}{r} (a + b + c) = 0 $

$ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{q^2}{r^2}(ab + ac + bc) = \frac{q^2}{r^2} $

$ x_1x_2x_3 = \frac{q^3}{r^3} (abc) = - \frac{q^3}{r^2}, $

więc

$ a + b + c = 0, $

$ ab + ac + bc = q, $

$ abc = -r. $

Wynika stąd, że (po ewentualnej zmianie porządku) $a = u$ , $b = v$ , $c = w$ .
Wobec tego pierwiastkami równania $r^2x^3 + q^3x + q^3 = 0$ są

$ \begin{split} x_1 = \frac{q}{r}u = \frac{uv + uw + vw}{-uvw}u = - \frac{uv + uw + vw}{vw} = - 1 - \frac{u(v + w)}{vw} = \\ =-1- \frac{u(-u)}{vw} = \frac{u^2}{vw} -1, \end{split} $

oraz analogicznie obliczone

$ x_2=\frac{v^2}{uw} -1, $

$ x_3=\frac{w^2}{uv} -1. $

Dla każdego $i = 1, 2, 3$ warunki $x_i \not \in [-1, 3]$ oraz $|x_i -1| >\geq 2$ są równoważne. Żaden z tych pierwiastków nie należy do przedziału $(-1,3)$ , gdy $x_i- 1 \geq 2$ .