Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

I OM - B - Zadanie 6

Dowieść, że liczba, która w dziesiątkowym układzie
pozycyjnym wyraża się za pomocą 91 jedynek, jest liczbą złożoną.

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ $91=7\cdot 13$ , więc cyfry danej liczby $L$ można podzielić na 13 grup
po 7 jedynek w każdej grupie:

$ 1111111\; 1111111 \; \dots \; 1111111 $

Stąd widać, że liczba ta dzieli się przez $1111111$ ; w ilorazie otrzymujemy liczbę

$ 1\; 0000001 \; \dots \; 0000001 $

Aby rzecz ująć nieco dokładniej, oznaczmy dla krótkości $1111111=N$ . Liczbę daną możemy przedstawić
jako sumę 13 składników.

$ L = N \cdot 10^{84} + N \cdot 10^{77} + \dots + N \cdot 10^7 + N $

odpowiadających owym 13 grupom cyfr. Biorąc $N$ przed nawias otrzymujemy

$ L = N\cdot(10^{84} + 10^{77} + \dots + 10^7 + 1), $

a z tego widzimy, że liczba dana jest iloczynem dwóch liczb naturalnych różnych od 1,
a więc nie jest liczbą pierwszą.

Sposób II

Inny rozkład liczby $L$ uzyskamy dzieląc jej cyfry na 7 grup
po 13 jedynek w każdej grupie; spostrzeżemy wówczas, że liczba L
dzieli się przez liczbę

$ M=1111111111111 $

Ujmując to dokładniej napiszemy, że

$ L = M \cdot 10^{78} + M \cdot 10^{65} + \dots + M \cdot 10^{13} + M, $

skąd

$ L = M \cdot (10^{78} + 10^{65} + \dots + 10^{13} + 1) $

Sposób III

Możemy też rozumować w sposób następujący:

$ L = 1 + 10 + 10^2 + \dots + 10^{90} $

Liczba $L$ jest zatem sumą 91 wyrazów postępu geometrycznego,
którego wyraz pierwszy równa się 1, a iloraz równa się 10.
Według znanego wzoru na sumę wyrazów postępu geometrycznego
mamy

$ L=\frac{10^{91}-1}{10-1} $

Stąd

$ L=\frac{(10^7)^{13}-1}{10-1} = \frac{(10^7)^{13}-1}{10^7-1} \cdot \frac{10^7-1}{10-1} $

Ponieważ

$ (*) \qquad \frac{a^n-b^n}{a-b} = a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots + ab^{n-2} + b^{n-1} $

więc podstawiając w powyższym wzorze za pierwszym razem
$a = 10^7$ , $n = 13$ , a za drugim razem $a = 10$ , $n = 7$ , widzimy, że
liczbę $L$ rozłożyliśmy na dwa czynniki naturalne różne od 1. Są
to te same czynniki, co w rozkładzie (1).