LX OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LX OM, 2008-2009

Etap:

Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ jest styczny do boków $BC$ , $CA$ , $AB$ odpowiednio w punktach
$D$ , $E$ , $F$ . Punkty $M$ , $N$ , $J$ są odpowiednio środkami okręgów wpisanych w trójkąty
$AEF$ , $BDF$ , $DEF$ . Dowieść, że punkty $F$ i $J$ są symetryczne względem prostej $MN$ .

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw, że punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami krótszych łuków $FE$ i $FD$
okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ .

Rzeczywiście, niech $M'$ będzie środkiem krótszego łuku $FE$ tego
okręgu. Prosta $AC$ jest doń styczna w punkcie $E$ , zatem (rys. 2)

$<br /> (1) \qquad \measuredangle AEM' = \measuredangle EFM' .<br />$

Ponieważ punkt $M'$ jest środkiem łuku $EF$ , więc trójkąt
$EM'F$ jest równoramienny. Wobec tego $\measuredangle EFM' = \measuredangle FEM'$ , co wraz
z równością (1) dowodzi, że punkt $M'$ leży na dwusiecznej kąta $\measuredangle AEF$ . Analogicznie dowodzimy,
iż punkt ten leży na dwusiecznej kąta $\measuredangle AFE$ , więc pokrywa się on
ze środkiem $M$ okręgu wpisanego w trójkąt $AEF$ . Podobnie rozumujemy
dla punktu $N$ .

Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ jest jednocześnie okręgiem opisanym
na trójkącie $DEF$ . Skoro $M$ jest środkiem krótszego łuku $EF$ tego
okręgu, prosta $DM$ zawiera dwusieczną kąta $\measuredangle EDF$ . Na tej prostej
leży więc punkt $J$ , który jest środkiem okręgu wpisanego w ten kąt.
Analogicznie dochodzimy do wniosku, że punkt $J$ leży na prostej $EN$ .

Aby uzasadnić, że punkty $J$ i $F$ są symetryczne względem prostej
$MN$ , wystarczy wykazać, iż trójkąty $MFN$ oraz $MJN$ są przystające,
gdyż będzie to oznaczało, że są one symetryczne względem prostej $MN$ .
Mamy jednak

$<br /> \measuredangle JMN = \measuredangle DMN = \measuredangle FMN,<br />$

gdzie druga równość wynika z tego, że $N$ jest środkiem łuku $FD$ .
Podobnie dostajemy $\measuredangle JNM =\measuredangle FNM$ . Trójkąty $MFN$ i $MJN$ mają więc
równe odpowiednie kąty oraz wspólny bok $MN$ , zatem są przystające
(cecha kąt-bok-kąt). Kończy to rozwiązanie zadania.