LVIII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

W czworokącie wypukłym $ABCD$ , nie będącym równoległobokiem, zachodzi równość $AB=CD$ . Punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami przekątnych $AC$ i $BD$ . Dowieść, że rzuty prostokątne odcinków $AB$ i $CD$ na prostą $MN$ są odcinkami o jednakowej długości, równej długości odcinka $MN$ .

Rozwiązanie

Niech punkt $E$ będzie środkiem boku $AD$ , zaś punkt $F$ - środkiem odcinka $MN$ (rys. 1).

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że $EM\parallel DC$ oraz $EM={1\over 2}DC$ . Analogicznie uzyskujemy zależności $EN\parallel AB$ i $EN={1\over 2}AB$ . Stąd i z równości $DC=AB$ otrzymujemy $EM=EN$ . Trojkąt $MEN$ jest zatem równoramienny, co oznacza, że $EF\perp MN$ . Wobec tego rzutem prostokątnym odcinka $EN$ na prostą $MN$ jest odcinek $FN$ ; a ponieważ odcinek $AB$ jest równoległy do odcinka $EN$ i ma dwukrotnie większą długość, więc rzutem odcinka $AB$ na prostą $MN$ jest odcinek o długości $2\cdot FN=MN$ .

Analogicznie dowodzimy, że rzut prostokątny odcinka $CD$ na prostą $MN$ jest odcinkiem o długości $MN$ , co kończy rozwiązanie zadania.