XXIX OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

Punkt $O$ jest punktem wewnętrznym czworokąta wypukłego $ABCD$ , $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $D_1$ są rzutami prostokątnymi punktu $O$ odpowiednio na proste $AB$ , $BC$ , $CD$ i $DA$ , $A_{i+1}$ , $B_{i+1}$ , $C_{i+1}$ , $D_{i+1}$ są odpowiednio rzutami prostokątnymi punktu $O$ na proste $A_iB_i$ , $B_iC_i$ , $C_iD_i$ , $D_iA_i$ . Dowieść, że czworokąty $A_4B_4C_4D_4$ i $ABCD$ są podobne.

Rozwiązanie

Konstrukcja podana w zadaniu nie zawsze jest wykonalna. Na przykład trzy z punktów $A_{i+1}$ , $B_{i+1}$ , $C_{i+1}$ , $D_{i+1}$ mogą należeć do jednej prostej. Wtedy zadanie traci sens. Podamy więc rozwiązanie zadania przy dodatkowym założeniu, że wszystkie rozważane czworokąty istnieją i są wypukłe.
Ponieważ $\measuredangle OD_1A + \measuredangle OA_1A = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$ , więc na czworokącie $OA_1AD_1$ można opisać koło. Miary kątów wpisanych w koło i opartych na tym samym łuku są równe. Wobec tego $\measuredangle OAD = \measuredangle OA_1D_1$ (rys. 8). Analogicznie dowodzimy, że $\measuredangle OA_2D_2 = \measuredangle OA_2D_2 = \measuredangle OA_3D_3 = \measuredangle OA_4D_4$ .

Rozumując podobnie otrzymujemy $\measuredangle ODA = \measuredangle OC_1D_1 = \measuredangle OB_2C_2 = \measuredangle OA_3B_3 = \measuredangle OD_4A_4$ . Trójkąty $OAD$ i $OA_4D_4$ są podobne, ponieważ po dwa odpowiednie kąty w tych trójkątach mają równe miary. Wobec tego $\displaystyle \frac{OA}{AD} = \frac{OA_4}{A_4D_4}$ . Analogicznie dowodzimy, że $\displaystyle \frac{OA}{AB} = \frac{OA_4}{A_4B_4}$ . Zatem $\displaystyle \frac{AB}{A_4B_4} = \frac{AD}{A_4D_4}$ , i podobnie $\displaystyle \frac{AB}{A_4B_4} = \frac{BC}{B_4C_4} = \frac{CD}{C_4D_4}$ .

Udowodniliśmy też, że $\measuredangle OAD = \measuredangle OA_4D_4$ . Podobnie dowodzi się, że $\measuredangle OAB = \measuredangle OA_4B_4$ i stąd $\measuredangle BAD = \measuredangle OAB + \measuredangle OAD = \measuredangle OA_4B_4 + \measuredangle OA_4D_4 = \measuredangle B_4A_4D_4$ . Analogicznie można wykazać, że miary pozostałych kątów czworokąta $ABCD$ są równe miarom odpowiednich kątów czworokąta $A_4B_4C_4D_4$ .

Tak więc odpowiednie boki tych czworokątów są proporcjonalne, a miary odpowiednich kątów są równe. Wobec tego czworokąty te są podobne.