XXIX OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

Niech $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ będzie funkcją ciągłą, dla której istnieje liczba $x$ spełniająca warunki: $f(f(f(x))) = x$ , $f(x) \neq x$ .
Udowodnić, że istnieją takie liczby $y_1$ , $y_2$ , $y_3$ , że $y_i \neq y_j$ dla $i \neq j$ oraz $f(f(y_k))=y_k$ dla $k = 1, 2, 3$ .
Uwaga. Wiadomo, że każda funkcja ciągła $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ma własność Darboux, to znaczy jeżeli $a < b$ i $d$ jest zawarte pomiędzy $g(a)$ i $g(b)$ , to istnieje taka liczba $c \in [a, b]$ , że $g(c) = d$ .

Rozwiązanie

Gdyby zachodziło $ff(x) = x$ , to mielibyśmy $fff(x) = f(x)$ , czyli $x =f(x)$ wbrew założeniu. Zatem $ff(x) \ne x$ . Podobnie z równości $ff(x) = f(x)$ wynika, że $fff(x) = ff(x)$ , czyli $x = ff(x)$ . Udowodniliśmy jednak, że ta ostatnia równość nie zachodzi. Zatem $ff(x) \ne f(x)$ .

Wobec tego liczby $x$ , $f(x)$ , $f(x)$ są parami różne. Oznaczmy najmniejszą z nich przez $a$ , największą przez $c$ , a pozostałą przez $b$ . Zatem $a < b < c$ . Z warunków zadania wynika, że funkcja $f$ określa permutację zbioru $\{a, b, c\}$ i $f(a) \ne a$ , $f(b) \ne b$ , $f(c) \ne c$ .

Rozpatrzmy przypadek, gdy $f(a) = c$ . Jeżeli $f(a) = b$ , to rozumowanie przebiega podobnie. Mamy więc $f(b) = a$ i $f(c) = b$ .

Funkcja ciągła $f(t)$ na końcach przedziału $\langle a, b \rangle$ przybiera wartości $c$ i $a$ . Wobec tego na mocy własności Darboux w pewnym punkcie z tego przedziału funkcja $f(t)$ przybiera wartość pośrednią $b$ , to znaczy $a < z < b$ i $f(z) = b$ . Dla rozwiązania zadania wystarczy oczywiście udowodnić, że funkcja $g(t) =ff(t) - t$ ma co najmniej trzy miejsca zerowe. Mamy

$ \begin{split} & g(a) = ff(a)- a = b - a > 0,\\ & g(z) = ff(z)- z = f(b) - z = a - z < 0,\\ & g(b) = ff(b)- b = c- b > 0 ,\\ & g(c) = ff(c)- c = a-c < 0. \end{split} $

Tak więc funkcja $g(t)$ na końcach każdego z przedziałów $\langle a, z \rangle$ , $\langle z, b \rangle$ , $\langle b, c \rangle$ przybiera wartości przeciwnych znaków. Wobec tego na mocy własności Darboux ma ona w każdym z tych przedziałów co najmniej jedno miejsce zerowe.

Uwaga. Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ niech $f_n$ będzie $n$ -krotną iteracją funkcji $f$ , to znaczy $f_n(x) =f(f(\ldots (f(x))\ldots))$ ( $n$ razy). Powiemy, że liczba rzeczywista $x$ ma okres $n$ , jeżeli $f_n(x) = x$ oraz $f_m(x) \ne x$ dla $m < n$ . Nasze zadanie można więc sformułować tak: {\it Dowieść, że jeżeli dla funkcji ciągłej $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ istnieje liczba $x$ okresu $3$ , to istnieją trzy liczby $y_1, y_2, y_3$ okresu $2$ lub $1$ .}

Zachodzi następujące ogólne twierdzenie Szarkowskiego: Ustawmy wszystkie liczby naturalne, jak następuje

$ (1) \qquad 3, 5, 7, 11, \ldots, 2 \cdot 3, 2 \cdot 5, 2 \cdot 7, \ldots , 4 \cdot 3, 4 \cdot 5, \ldots , 8, 4, 2, 1. $

Na początku jest ciąg rosnący wszystkich liczb pierwszych, potem ciąg liczb pierwszych pomnożonych przez $2$ , przez $4$ , itd., wreszcie - ciąg malejący wszystkich potęg liczby $2$ .

Twierdzenie Szarkowskiego mówi, że jeżeli dla funkcji ciągłej $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ istnieje liczba okresu $n$ , to istnieje też liczba okresu $m$ , o ile w ciągu (1) liczba $m$ występuje po liczbie $n$ .