XXIX OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

Dowieść, że jeżeli $0 < x \leq \frac{1}{2}$ , $0 < y \leq \frac{1}{2}$

$ \frac{(x+y)^2}{xy} \geq \frac{(2-x-y)^2}{(1-x)(1-y)} $

Rozwiązanie

\spos{1} Ponieważ na mocy warunków zadania liczby $x$ , $y$ , $1-x$ , $1-y$ są dodatnie, więc mnożąc stronami podaną w zadaniu nierówność przez $xy (1 -x) (1 -y)$ otrzymamy nierówność równoważną

$ (1 -x)(1 -y)(x+y)^2 \geq xy(2-x-y)^2. $

Wymnażając nawiasy i przenosząc wszystkie wyrazy na stronę lewą otrzymamy

$ x^2 + y^2 - 2xy - x^3 - y^3 + x^2y + xy^2 \geq 0, $

czyli $(x - y)^2(1 - x - y) \geq 0$ . Ta ostatnia nierówność równoważna nierówności podanej w zadaniu jest prawdziwa, ponieważ $x + y \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ , czyli $1 - x - y \geq 0$ . Zatem nierówność podana w zadaniu też jest prawdziwa.