XXIX OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

Spośród wierzchołków $2n$ -kąta foremnego wybrano losowo 3 różne punkty. Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwem zdarzenia, że trójkąt o wierzchołkach w wybranych punktach jest ostrokątny. Obliczyć $\lim_{n\to \infty} p_n$ .
Uwaga. Zakładamy, że wszystkie wybory trzech różnych punktów są jednakowo prawdopodobne.

Rozwiązanie

Niech $A_1, A_2, \ldots , A_{2n}$ będą kolejnymi wierzchołkami $2n$ -kąta foremnego, a $O$ - środkiem koła opisanego na tym wielokącie. Zbadamy, ile jest takich trójkątów $A_1A_iA_j$ , gdzie $i < j$ , że kąt $\measuredangle A_iA_1A_j$ nie jest ostry.

Ponieważ kąt wpisany w koło ma miarę dwa razy mniejszą niż kąt środkowy oparty na tym samym łuku, więc

$ \measuredangle A_iA_1A_j = \frac{1}{2} \measuredangle A_iOA_j = \frac{j-i}{2} \cdot \frac{2\pi}{2n} = \frac{j-i}{n} \cdot \frac{\pi}{2}. $

Zatem $\measuredangle A_iA_1A_j$ nie jest ostry wtedy i tylko wtedy, gdy $j - i \geq n$ . Obliczymy więc, ile jest takich par $(i, j)$ , że

$ (1) \qquad 2 \leq i <j \leq 2n \ \textrm{oraz}\ j - i \geq n. $

Z nierówności tych wynika, że $i \leq j - n \leq 2n - n = n$ . Dla każdego $i$ spełniającego $2 \leq i \leq n$ mamy $n - i + 1$ wartości na $j$ spełniających (1), mianowicie $j = i + n, i+ n + 1, \ldots, 2n$ . Zatem poszukiwana liczba par jest równa

$ \sum_{i=2}^n (n-i+1) = (n-1) + (n- 2)+ \ldots + 2+ 1 = \frac{n(n-1)}{2}. $

Udowodniliśmy więc, że liczba trójkątów nieostrokątnych $A_1A_iA_j$ , w których kąt $\measuredangle A_iA_1A_j$ jest nieostry, jest równa $\frac{n(n-1)}{2}$ . Ponieważ w trójkącie co najwyżej jeden kąt jest nieostry, więc liczba wszystkich trójkątów nieostrokątnych $A_iA_jA_k$ jest równa

$ 2n \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n^2 (n-1). $

Liczba wszystkich trójkątów $A_iA_jA_k$ jest równa liczbie podzbiorów trójelementowych zbioru $2n$ -elementowego $\{A_1, A_2, \ldots , A_{2n} \}$ , to znaczy liczbie

$ \binom{2n}{3} = \frac{2n (2n-1)(2n-2)}{6} = \frac{2n (n-1)(2n-1)}{3}. $

Wobec tego

$ p_n = 1 - \frac{n^2(n-1)}{ \binom{2n}{3}} = 1 - \frac{3n}{2(2n-1)} = 1 - \frac{3}{4-\frac{2}{n}}. $

Zatem $\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ .

Uwaga. Trójkąt $A_1A_iA_j$ , gdzie $1 n$ oraz $j - i < n$ . Przyporządkowując trójkątowi $A_1A_iA_j$ punkt $(i,j)$ widzimy, że trójkątom ostrokątnym odpowiadają punkty kratowe położone w zakreskowanym trójkącie (rys. 12), a dowolnym trójkątom - punkty kratowe należące do trójkąta $AOB$ . Stosunek liczby punktów kratowych w trójkącie zakreskowanym do liczby wszystkich punktów kratowych w trójkącie $AOB$ dąży przy $n \to \infty$ do stosunku pól tych trójkątów. Ten stosunek pól jest równy $\frac{1}{4}$ .