XXIX OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

Dowieść, że nie istnieje taka równia pochyła, że każdy czworościan dowolnie przyłożony pewną ścianą do równi nie przewróci się. Znaczy to, co następuje. Dana jest płaszczyzna $\pi$ i prosta $l$ nie prostopadła do niej. Dowieść, że istnieje taki czworościan $T$ , że dla każdej jego ściany $S$ istnieje w płaszczyźnie $\pi$ trójkąt $ABC$ przystający do $S$ oraz istnieje taki punkt $D$ , że czworościan $ABCD$ przystaje do $T$ i prosta równoległa do $l$ przechodząca przez środek ciężkości czworościanu $ABCD$ nie przecina trójkąta $ABC$ .
Uwaga. Środkiem ciężkości czworościanu nazywamy punkt przecięcia odcinków łączących środki ciężkości ścian tego czworościanu z przeciwległymi wierzchołkami (wiadomo, że punkt taki zawsze istnieje).

Rozwiązanie

Udowodnimy, że dla każdej równi pochyłej istnieje taki czworościan, że dla każdej jego ściany można go tak przyłożyć tą ścianą do równi pochyłej, że czworościan się przewróci.

Rozpatrzmy czworościan $ABCD$ , którego wierzchołki mają współrzędne $A = (-1, 0, a)$ , $B = (1, 0, a)$ , $C = (0, 1, -a)$ , $D = = (0, -1, -a)$ , gdzie $a$ jest pewną liczbą dodatnią. Niech $P$ i $Q$ będą środkami krawędzi $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ odpowiednio, tzn. $P = (0, 0, a)$ , $Q = (0, 0, -a)$ .

Łatwo zauważyć, że dla dowolnych dwóch ścian czworościanu $ABCD$ istnieje taka izometria tego czworościanu, która przeprowadza jedną z tych ścian na drugą.