XXIX OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

III

W danym kącie wypukłym na płaszczyźnie biegnie promień światła odbijając się od ramion kąta zgodnie z zasadą, że kąt padania równa się kątowi odbicia. Promień, który trafi w wierzchołek kąta, zostaje pochłonięty. Udowodnić, że istnieje taka liczba naturalna $n$ , że każdy promień może odbić się od ramion kąta co najwyżej $n$ razy.

Rozwiązanie

Jeżeli promień światła wychodząc z punktu $C$ odbija się od jednego z ramion danego kąta w punkcie $P$ , a następnie od, drugiego ramienia w punkcie $Q$ , to dokonując symetrii $\varphi$ względem prostej $OP$ , gdzie $O$ jest wierzchołkiem danego kąta, stwierdzamy, że punkty $C$ , $P$ i $\varphi(Q)$ są współliniowe (rys. 15). Wynika to z równości kątów $\measuredangle CPA = \measuredangle QPO = \measuredangle \varphi(Q)PO$ .

Wobec tego zadanie sprowadza się do następującego: Z punktu $O$ prowadzimy półproste $m_1, m_2, \ldots, m_k, m_{k+1}, \ldots$ tak, że $\measuredangle (m_i, m_{i+1}) = \theta$ dla $i = 1, 2, \ldots$ (rys. 16). Należy udowodnić, że istnieje liczba naturalna $n$ o tej własności, że każda półprosta $m$ przechodząca przez pewien punkt położony wewnątrz kąta $\measuredangle (m_1, m_2)$ i przecinająca półprostą $m_2$ przecina kolejno nie więcej niż $n$ z narysowanych półprostych.

By to udowodnić, wystarczy tak obrać $k$ , by $(k - 2)\theta < \pi \leq (k - 1)\theta$ . Wtedy $\measuredangle (m_2, m_{k+1}) = (k - 1)\theta \geq \pi$ i półprosta $m$ przecinając półprostą $m_2$ nie przetnie już półprostej $m_{k+1}$ , ponieważ półproste $m_3$ i $m_{k+1}$ nie leżą w tej samej półpłaszczyźnie otwartej wyznaczonej przez prostą zawierającą półprostą $m_2$ . Tak więc półprosta $m$ przetnie co najwyżej $k - 1$ danych półprostych $m_2, m_3, \ldots ,m_k$ , gdzie $k - 2 < \frac{\pi}{\theta}$ , to znaczy $k - 1 < \frac{\pi}{\theta} + 1$ . Zatem promień światła odbije się od ramion danego kąta mniej niż $\frac{\pi}{\theta} + 1$ razy. Wystarczy więc przyjąć $n = \left[ \frac{\pi}{\theta} \right] + 1$ .