XXIX OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli

$<br /> x^{2m} \cdot P(x, y) + y^{2m} \cdot Q(x, y) = (x+y)^{2m} \cdot R(x, y),<br />$

gdzie $m$ jest liczbą naturalną, $P, Q, R$ są wielomianami stopni mniejszych od $m$ , to każdy z tych wielomianów jest wielomianem zerowym.
Uwaga. Stopniem wielomianu niezerowego $W(x, y) = \sum a_{ij}x^iy_^j$ nazywamy maksymalną liczbę całkowitą $i + j$ , dla której $a_{ij}\neq 0$ . Za stopień wielomianu zerowego przyjmujemy liczbę 0.

Rozwiązanie

\spos{1} Jeżeli wielomian $P(x,y)$ nie jest zerowy, to istnieje taka liczba $a \ne 0$ , że wielomian jednej zmiennej $P(x, a)$ nie jest zerowy. Podstawiając w równości danej w zadaniu $y = a$ otrzymujemy

$<br /> (1) \qquad x^{2m} \cdot P (x, a) + a^{2m} \cdot Q (x, a) = (x + a)^{2m} \cdot R (x, a).<br />$

Wielomian $F(x)$ stojący po lewej stronie równości (1) nie jest zerowy i jest sumą co najwyżej $2m$ jednomianów, ponieważ z założenia stopień każdego z wielomianów $P(x, a)$ i $Q (x, a)$ jest mniejszy od $m$ .

Z drugiej strony z (1) wynika, że liczba $(-a)$ jest co najmniej $2m$ -krotnym pierwiastkiem wielomianu $F(x)$ .

Na mocy zadania 24(6) z XXVIII Olimpiady Matematycznej uzyskaliśmy sprzeczność.

Wobec tego wielomian $P(x, y)$ jest zerowy. Analogicznie dowodzimy, że wielomian $Q(x,y)$ jest zerowy, a wobec tego i,wielomian $R (x, y)$ jest zerowy.