XXIX OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

III

Dana jest liczba rzeczywista $a$ . Definiujemy ciąg $(a_n)$ w sposób następujący

$ a_1 = a, $

$ a_{n+1} = \begin{cases} \frac{1}{2}\left(a_n-\frac{1}{a_n}\right), & \mathrm{ jeżeli }a_n \neq 0, \\ 0, &\mathrm{ jeżeli } a_n = 0. \end{cases} $

Udowodnić, że ciąg $(a_n)$ ma nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych i nieskończenie wiele wyrazów niedodatnich.

Rozwiązanie

Jeżeli pewien wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy zeru, to wszystkie następne wyrazy tego ciągu też są równe zeru i teza zadania jest spełniona. Załóżmy więc, że wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ są różne od zera.

Niech $d_n = a_{n+1} - a_n$ . Obliczamy, że

$ d_n^2 = (a_{n+1} - a_n)^2 = a_{n+1}^2 - 2a_na_{n+1} + a_n^2 = a_{n+1}^2 + 1 > 1. $

Zatem $|d_n| > 1$ .

Jeżeli począwszy od pewnego miejsca wyrazy ciągu $(a_n)$ są dodatnie, to $a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n - \frac{1}{a_n} \right) < \frac{1}{2} a_n < a_n$ , to znaczy ciąg $(a_n)$ jest malejący. Jednak ciąg malejący, którego wyrazy kolejne różnią się więcej niż o $1$ , nie może zawierać tylko wyrazów dodatnich.

Jeżeli począwszy od pewnego miejsca wyrazy ciągu są ujemne, to $a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n - \frac{1}{a_n} \right) > \frac{1}{2} a_n > a_n$ , to znaczy ciąg $(a_n)$ jest rosnący.

Jednak ciąg rosnący, którego wyrazy, kolejne różnią się więcej niż o $1$ , nie może zawierać tylko wyrazów ujemnych.

Wobec tego ciąg $(a_n)$ zawiera nieskończenie wiele wyrazów dodatnich i nieskończenie wiele wyrazów ujemnych.