XXIX OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli w dowolnym czworościanie $h_1, h_2, h_3, h_4$ są długościami czterech wysokości, $d_1, d_2, d_3$ zaś odległościami trzech par prostych zawierających przeciwległe krawędzie, to

$ \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} + \frac{1}{h_3^2} + \frac{1}{h_4^2} = \frac{1}{d_1^2} + \frac{1}{d_2^2} + \frac{1}{d_3^2} $

Rozwiązanie

Niech dany będzie czworościan $ABCD$ . Rozpatrzmy graniastosłup $ABCDEF$ o podstawie $ABC$ i tworzącej $\overline{AD}$ . Objętość $V_S$ tego graniastosłupa jest trzy razy większa od objętości $V$ danego czworościanu. Poza tym $V = \frac{1}{3}h_1 \cdot S_{ABC}$ , gdzie $h_1$ jest długością wysokości czworościanu poprowadzonej z wierzchołka $D$ .

Rozważany graniastosłup jest sumą danego czworościanu i ostrosłupa $BCDEF$ (rys. 17). Wobec tego $V_S = V + \frac{1}{3} d_1 \cdot S_1$ , gdzie $d_1$ jest długością wysokości ostrosłupa poprowadzonej z wierzchołka $D$ , czyli odległością krawędzi przeciwległych $\overline{AD}$ i $\overline{BC}$ danego czworościanu, a $S_1$ - polem równoległoboku wyznaczonego przez parę wektorów $\overrightarrow{BC}$ i $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AD}$ odpowiadających parze krawędzi przeciwległych $\overline{BC}$ i $\overline{AD}$ danego czworościanu.

Z powyższych zależności otrzymujemy

$ \frac{1}{h_1} = \frac{S_{ABC}}{3V} \ \textrm{i} \ \frac{1}{d_1} = \frac{S_1}{6v}. $

Analogicznie znajdujemy podobne wyrażenia dla $h_2$ , $h_3$ , $h_4$ , $d_2$ , $d_3$ . Podstawiając je do równości podanej w zadaniu dochodzimy do równości równoważnej:

$ (1) \qquad 4 (S^2_{ABC} + S2_{BCD} + S2_{ACD} + S2_{ABD}) = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2, $

gdzie $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ są polami równoległoboków wyznaczonych przez wektory odpowiadające parom krawędzi przeciwległych danego czworościanu.

Udowodnimy wzór (1) za pomocą rachunku wektorowego. Kwadrat pola równoległoboku wyznaczonego przez wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ jest
równy $(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} )^2$ . Oznaczając $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AD}$ otrzymamy $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$ . Wobec tego równość (1) przyjmuje postać

$ \begin{split} (2) \qquad & (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})^2 + ((\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \times (\overrightarrow{c} -\overrightarrow{a}))^2 + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^2 + (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})^2 =\\ &\quad = ((\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{c})^2 + ((\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{a})^2 + ((\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{b})^2. \end{split} $

Przekształcamy stronę prawą $P$ równości (2) korzystając z następujących praw działań na wektorach:

$ \begin{split} (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{w} &= \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w},\ (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ) \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w},\\ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} &= -(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u}), \ \textrm{stąd} \ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{u} = 0, \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}.\\ P &= (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^2 - 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})^2+\\ & \quad + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})^2 - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})^2+\\ & \quad + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b})^2 - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})^2. \end{split} $

Ponieważ

$ \begin{split} ((\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \times (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}))^2 &= (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})^2 =\\ &= (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^2 + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})^2 + (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})^2+\\ &\quad - 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) - 2 (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})+\\ &\quad - 2 (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}), \end{split} $

więc strona lewa $L$ równości (2) jest równa

$ \begin{split} L = & 2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})^2 + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^2 + 2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})^2 - 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) +\\ & - 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}) - 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}). \end{split} $

Wobec tego widzimy, że $L = P$ , to znaczy równość (2) jest prawdziwa.