LVIII OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$ , w którym $\angle ACB=45^\circ$ . Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , punkt $H$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $ABC$ . Prosta przechodząca przez punkt $O$ i prostopadła do prostej $CO$ przecina proste $AC$ i $BC$ odpowiednio w punktach $K$ i $L$ . Wykazać, że

$<br /> OK+KH=OL+LH\,.<br />$

Rozwiązanie

Niech $D$ będzie spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $B$ i niech $G$ będzie punktem symetrycznym do punktu $H$ względem prostej $AC$ (rys. 2); odcinki $BG$ i $AC$ przecinają się w punkcie $D$ .

Zauważmy, że punkt $G$ leży na okręgu opisanym na trójkącie $ABC$ . Rzeczywiście, ze względu na prostopadłości $BH\perp AC$ , $CH\perp AB$ mamy

$\measuredangle ACG=\measuredangle ACH=90^\circ-\measuredangle CAB=\measuredangle ABG\,,$

a więc punkty $A$ , $B$ , $C$ , $G$ leżą na jednym okręgu.

W trójkącie $BCD$ zachodzą równości $\measuredangle BCD=45^\circ$ i $\measuredangle BDC=90^\circ$ , skąd wyznaczamy $\measuredangle CBG=45^\circ$ . Zatem $\measuredangle GOC=2\measuredangle GBC=90^\circ$ . Stąd $GO\perp CO$ , toteż punkty $G$ , $K$ , $O$ leżą na jednej prostej w tej właśnie kolejności. To daje

$<br /> OK+KH=OK+KG=OG,<br />$

czyli wielkość $OK+KH$ jest równa promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ . Analogicznie dowodzimy, że temu promieniowi jest równa wielkość $OL+LH$ , co kończy rozwiązanie.