XXVIII - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

Znaleźć wszystkie rozwiązania układu równań

$ \begin{split} 2(x + y - 2) &= y(x - y + 2), \\ x^2(y - 1) + y^2(x - 1) &= xy - 1. \end{split} $

Rozwiązanie

Przenosząc w danych równaniach wszystkie wyrazy na stronę lewą i rozkładając otrzymane wielomiany na czynniki uzyskujemy

$ (y-2)(x-y-2) = 0, $

$ (x-1)(y-1)(x+y+1) = 0. $

Z pierwszego z tych równań wynika, że $y - 2 = 0$ lub $x - y - 2 = 0$ , czyli $y = 2$ lub $y = x - 2$ . Podstawiając $y = 2$ do drugiego równania otrzymujemy $(x - 1)(x + 3) = 0$ i wobec tego $x = 1$ lub $x = -3$ . Mamy więc w tym przypadku dwa rozwiązania danego układu równań $(x, y) = (1, 2)$ i $(-3, 2)$ . Podstawiając zaś $y = x - 2$ do drugiego równania otrzymujemy $(x - 1) (x - 3)(2x - 1) = 0$ i wobec tego $x = 1$ , $x = 3$ lub $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ . Odpowiednie wartości $y$ obliczamy ze wzoru $y = x- 2$ i otrzymujemy $y = -1$ , $y = 1$ , $\displaystyle y = -\frac{3}{2}$ . Mamy więc w tym przypadku trzy rozwiązania danego układu równań $(x,y) = (1, -1)$ , $(3, 1)$ i $\displaystyle \left( \frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \right)$ . Łącznie więc dany układ równań ma pięć rozwiązań.