XXVIII - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXVIII OM, 1976-1977

Etap:

Dane są trzy różne liczby całkowite $a, b, c$ . Udowodnić, że nie istnieje wielomian $w(x)$ o współczynnikach całkowitych taki, że

$ w(a) = b, \quad w(b) = c, \quad w(c) = a. $

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli $w(x) = p_0 + p_1x + p_2x^2 + \ldots + p_nx^n$ , gdzie $p_0, p_1, \ldots, p_n$ są liczbami całkowitymi, to dla dowolnych liczb całkowitych $r$ i $s$ liczba $w(r) - w(s)$ jest podzielna przez $r - s$ . Mamy bowiem

$ w(r) - w(s) =p_1(r- s) + p_2(r^2 - s^2) + \ldots + p_n(r^n - s^n), $

a każda z liczb $r - s, r^2 - s^2, \ldots, r^n - s^n$ jest podzielna przez $r - s$ . Wobec tego z warunków zadania wynika, że:

liczba $b - c = w(a) - w(b)$ jest podzielna przez $a - b$ ,
liczba $c - a = w(b) - w(c)$ jest podzielna przez $b - c$ ,
liczba $a - b = w(c) - w(a)$ jest podzielna przez $c - a$ .

Liczby $a - b$ , $b - c$ , $c - a$ są różne od zera, ponieważ liczby $a$ , $b$ , $c$ są różne. Wobec tego z powyższych podzielności wynika, że $|a - b| \leq |b - c|$ , $|b - c| \leq |c - a|$ i $|c - a| \leq |a - b|$ . Stąd mamy $|a - b| = |b - c| = |c - a|$ . Liczby $a - b$ i $b - c$ są więc równe lub przeciwne. Gdyby były one przeciwne, to $a - b = - (b - c)$ i stąd $a = c$ , co przeczy założeniu. Zatem liczby $a - b$ i $b - c$ są równe. Podobnie dowodzimy, że liczby $b - c$ i $c - a$ są równe. Wobec tego $3 (b - c) = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$ i stąd $b = c$ .

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje wielomian w spełniający warunki zadania.

Uwaga. Nietrudno udowodnić, że istnieje wielomian w o współczynnikach wymiernych spełniający warunki podane w zadaniu. Wielomianem takim jest na przykład

$ w(x)=a \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} + b \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + c \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}. $

Ogólniej można udowodnić, że jeżeli $a_1, a_2, \ldots, a_n$ są różnymi liczbami rzeczywistymi, a $b_1, b_2, \ldots, b_n$ - dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to istnieje wielomian $w$ stopnia $< n$ o współczynnikach rzeczywistych i taki, że $w(a_i) = b_i$ dla $i = 1, 2, \ldots, n$ .